Лабораторна робота № 6

Апроксимація

Теоретичні відомості

Функція задана таблицею своїх значень:

X	x0	x1	x2	...	xn
Y	y0	y1	y2	...	yn

Задача апроксимації полягає у знаходженні аналітичного виразу для опису функції , яка задана у вигляді таблиці. У випадку лінійної апроксимації ця залежність шукається у вигляді поліному першого ступеню:

.

Невідомі параметри а і b знаходять з умови, щоб квадратичне відхилення
(N – кількість заданих точок) було мінімальним.

Параметри а і b знаходять з системи лінійних рівнянь:

.

Приклад 6.1. Виконати лінійну апроксимацію

X
Y	1,02	1,5	1,667	1,75	1,8

N=5,

=1+2+3+4+5=15,

,

,

.

Система рівнянь має вигляд:

.

Знайдемо розв’язок системи за формулами Крамера:

,

, ,

, .

Апроксимуючий многочлен має вигляд:

.

Багато нелінійних функцій, що залежать від двох параметрів, можна лінеарізовати шляхом заміни змінних. Наприклад, якщо початкова залежність має вигляд , то взявши логарифм від початкової рівності і ввівши нові змінні і , отримуємо задачу про визначення коефіцієнтів лінійної залежності . Далі обчислені коефіцієнти a 1 і b 1 перераховуються в коефіцієнти a і b.

Можливі заміни змінних наведені в таблиці 1.

Таблиця 1

Вид залежності	Заміна змінних	Обмеження	Зворотна заміна
Гіперболічна
Логарифмічна
Показова
Степенева
Комбінована

Для виконання лінійної регресії за методом найменших квадратів у MathCad є наступні функції:

– intercept (vx,vy) – повертає значення параметра а;

– slope (vx,.vy) – повертає значення параметра b (наклон);

– corr (vx,vy) – коефіцієнт кореляції Пірсона.

Для поліноміальної апроксимації призначені наступні функції:

– regress (vx,vy,n) – повертає вектор, елементами якого є коефіцієнти полінома ступеня n, що наближає точки, задані векторами vx та vy.

– interp (v,vx,vy,x) – повертає значення інтерполяційної функції в точках, що задані вектором x; vx і vy – масиви експериментальних точок; v – масив, отриманий як результат функції regress.

Завдання

1. Виконати апроксимацію експериментальних даних використовуючи:

1) лінійну залежність;

2) поліном другого степеню;

3) функції з таблиці 1.

2. Вирішити, яка залежність найкращим чином апроксимує вихідні дані.

Порядок виконання

Ввід вихідних даних

Лінійна апроксимація

Апроксимація поліномом 2 ступеня

Визначення нових змінних для апроксимації функцією

Визначення нових змінних для апроксимації функцією

Обчислення коефіцієнтів лінеарізованої залежності:

Зворотна заміна:

Контрольні питання

1. Постановка задачі апроксимації.

2. Суть методу найменших квадратів.

3. Як оцінюється точність апроксимації?

4. Для чого та яким чином виконується лінеаризація?

5. За допомогою яких функцій і яким чином можна виконати лінійну апроксимацію в Mathcad?

6. Призначення та аргументи функції regress.

Варіанти завдань

	х	–1	–0.55	–0.1	–0.35	0.8	1.25	1.7	2.15	2.6	3.05
	у	–6.78	–6.56	–6.14	–5.31	–3.68	–0.85	5.81	18.15	42.4	90.03
	х	0.01	0.56	1.11	1.66	2.21	2.28	3.3	3.85	4.4	4.95
	у	34.23	5.97	1.28	–1.54	–3.54	–5.09	–6.36	–7.44	–8.37	–9.2
	х	–2	–1.6	–1.2	–0.8	–0.4		0.4	0.8	1.2	1.6
	у		10.24	5.76	2.56	0.53		0.64	2.56	5.76	10.24
	х	0.3	1.57	2.84	4.11	5.38	6.65	7.92	9.19	10.46	11.73
	у	15.33	4.55	3.41	2.97	2.74	2.6	2.59	2.44	2.38	2.34
	х	–3.5	–2.65	–1.8	–0.95	–0.1	0.75	1.6	2.45	3.3	4.15
	у	0.01	0.03	0.07	0.12	0.19	0.2	0.29	0.31	0.325	0.33
	х	0.15	0.94	1.72	2.51	3.29	4.08	4.86	5.65	6.43	7.22
	у	–9.69	–4.2	–2.37	–1.25	–0.43	0.21	0.74	1.3	1.58	1.93
	х	0.35	0.82	1.28	1.75	2.21	2.675	3.14	3.605	4.07	4.535
	у	6.86	5.23	4.78	4.57	4.45	4.37	4.35	4.28	4.25	4.22
	х	–1	–0.8	–0.6	–0.4	–0.2	0.0	0.2	0.4	0.6	0.8
	у	4.14	4.2	4.3	4.45	4.67		5.49	6.85	7.32	8.95
	х		2.3	2.6	2.9	3.2	3.5	3.8	4.1	4.4	4.7
	у	2.67	4.06	6.16	8.13	10.92	14.29	18.29	22.97	28.39	34.6
	х	–5	–4	–3	–2	–1
	у	0.01	0.02	0.05	0.11	0.21	0.38	0.42	0.47	0.49	0.5
	х	0.95	1.21	1.47	1.74	2.0	2.26	2.52	2.78	3.05	3.31
	у	8.16	3.39	2.19	1.34	0.88	0.61	0.54	0.33	0.28	0.19
	х	0.35	0.82	1.28	1.75	2.21	2.68	3.14	3.61	4.07	4.535
	у	16.99	8.83	6.61	5.56	4.96	4.62	4.29	4.09	3.93	3.8
	х	–1.7	–1.43	–1.16	–0.89	–0.62	–0.35	–0.08	0.19	0.46	0.73
	у	26.96	14.46	7.17	2.92	0.45	–0.98	–1.35	–2.31	–2.6	–2.77
	х	–5	–3.5	–2	–0.5		2.5		5.5		8.5
	у		0.01	0.06	0.28	0.87	2.05	2.92	3.23	3.31	3.33
	х	–2	–1.4	–0.8	–0.2	0.4	1.0	1.6	2.2	2.8	3.4
	у	6.8	3.33	1.09	0.02	0.27	1.7	4.35	8.23	13.33	19.65
	х	0.4	0.86	1.32	1.78	2.24	2.7	3.16	3.62	4.08	4.54
	у	–20.5	–11.2	–8.3	–6.93	–6.5	–5.59	–5.3	–4.93	–4.83	–4.54
	х	0.01	0.51	1.01	1.52	2.01	2.51	3.0	3.05	4.0	4.5
	у	–1.14	2.39	3.01	3.37	3.63	3.83	3.99	4.13	4.25	4.35

Продовження таблиці

	х	–5	–3.91	–2.82	–1.73	–0.64	0.45	1.54	2.63	3.72	4.81
	у		–0.01	–0.01	–0.03	–0.07	–0.18	–0.2	–0.23	–0.24	–0.25
	х	–2.1	–1.79	–1.48	–1.17	–0.86	–0.55	–0.24	0.07	0.38	0.69
	у	0.28	0.29	0.3	0.32	0.36	0.48	0.78	1.52	3.41	8.21
	х	0.01	0.53	1.05	1.57	2.09	2.61	3.12	3.64	4.16	4.68
	у	15.22	3.31	1.26	0.05	–0.81	–1.74	–2.17	–2.48	–2.88	–3.23
	х		0.4	0.8	1.2	1.6	2.0	2.4	2.8	3.2	3.6
	у	0.3	7.5	11.37	14.5	17.24	19.9	21.98	24.11	26.12	28.04
	х	–4	–3.01	–2.02	–1.03	–0.04	0.95	1.94	2.93	3.92	4.91
	у	–0.02	–0.05	–0.12	–0.26	–0.49	–0.72	–0.87	–0.94	–0.98	–0.99
	х	0.4	0.81	1.22	1.5	2.04	2.45	2.86	3.27	3.68	4.09
	у	1.8	0.53	0.12	–0.09	–0.21	–0.31	–0.35	–0.39	–0.43	–0.46
	х	–1	–0.72	–0.44	–0.17	0.12	0.39	0.67	0.95	1.22	1.5
	у	–4.95	–4.89	–4.74	–4.39	–3.6	–1.93	2.42	12.08	34.33	85.55
	х	0.01	0.51	1.01	1.51	2.01	2.51	3.01	3.51	4.01	4.51
	у	–4.76	2.29	3.52	4.24	4.76	5.06	5.48	5.76	6.0	6.21