Определение усилий в трехшарнирных арках и рамах

Расчет трехшарнирных арок и рам (рис. 3.1) имеет ряд особенностей, которые и рассматриваются в данном разделе.

Эти конструкции являются статически определимыми, так как состоят из двух дисков, соединенных между собой при помощи шарнира, эквивалентного двум кинематическим связям, и прикрепленным к основанию с помощью четырех опорных стержней. Следовательно, степень свободы конструкции равна Таким образом, конструкция не имеет лишних связей и является статически определимой. Конструкция является неизменяемой, т.к. ее можно рассматривать состоящей из трех дисков, соединенных между собой при помощи трех шарниров, не лежащих на одной прямой (рис.3.2).

Определение опорных реакций

В трехшарнирных системах при действии вертикальной нагрузки на опорах возникают, как правило, вертикальные и горизонтальные реакции. Поэтому эти системы принято называть распорными. Рассмотрим методику определения опорных реакций.

Пусть трехшарнирная арка нагружена, как показано на рис. 3.3.

Вертикальные составляющие опорных реакций могут быть найдены так же, как и в простой балке на двух опорах, из уравнений равновесия в виде суммы моментов всех сил относительно опорных точек. В данном случае эти уравнения имеют вид

Горизонтальные составляющие опорных реакций могут быть найдены из условия равенства нулю изгибающего момента в шарнире “c”.

Вычисляя момент в шарнире “c” через левые силы, получаем

(3.1)

Выражая момент в шарнире “c” через правые силы, находим

(3.2)

При действии только вертикальных нагрузок (в рассматриваемом примере при F ₃=0) формулы (3.1) и (3.2) принимают вид

(3.3)

В формулах (3.3) через обозначен изгибающий момент в простой балке, перекрывающей такой же пролет и нагруженный такими же силами, как и арка.

Очевидно, что в этом случае Горизонтальная реакция в трехшарнирной арке называется распором и обозначается буквой H. Из формул (3.3) получаем

(3.4)

В дальнейшем будем рассматривать расчет трехшарнирных арок на действие только вертикальной нагрузки. Получим формулы для определения внутренних усилий.

Предположим, что арка нагружена, как показано на рис. 3.8,а, и для нее найдены опорные реакции. Получим формулы для определения внутренних усилий.

Рассечем арку на две части в сечении, расположенном на расстоянии х от начала координат (рис. 3.8,б). Внутренние напряжения, действующие в сечении, заменим эквивалентным моментом М и эквивалентной силой R, а последнюю, в свою очередь, разложим на составляющие в направлении касательной (N) и перпендикуляра к оси арки (Q). Касательную составляющую назовем продольной, а перпендикулярную составляющую – поперечной силой. Из уравнений равновесия отсеченной части легко получить следующие соотношения:

(3.5)

В формулах (3.5) есть изгибающий момент и поперечная сила в сечении x простой балки, перекрывающей тот же пролет и несущей те же нагрузки.

Для построения эпюр внутренних усилий пролет арки разбивается на несколько равных частей; по уравнению оси арки, которое обычно бывает известно, определяется угол наклона касательной на границах участков, и по формулам (3.18) вычисляются внутренние усилия. При наличии в каком-либо сечении внешних сосредоточенных сил и моментов внутренние силы вычисляются дважды – слева от этой силы (момента) и справа от нее.

Очертания оси арки можно выбрать таким, чтобы изгибающие моменты во всех сечениях были равны нулю. Из первой формулы (3.5) имеем

Отсюда

Таким образом, если принять ординаты оси арки равными балочному изгибающему моменту, деленному на величину распора, изгибающие моменты в такой арке будут равны нулю. Такие ординаты оси арки являются наиболее рациональными при данной нагрузке.

Примеры расчета трехшарнирной арки.

Пример 1.

Для сплошной трехшарнирной арки требуется определить аналитически изгибающие моменты, поперечные и продольные силы в сечениях к₁ и к₂от действия постоянной заданной нагрузки.