Определение усилий в многопролетных статически определимых балках

Простые двухопорные или консольные балки (рис.2.1) находят широкое применение в различных объектах техники. Однако, при увеличении длины пролета применение таких балок становится экономически невыгодным, так как при этом существенно увеличиваются изгибающие моменты, и приходится использовать балки большого поперечного сечения. Снизить значения изгибающих моментов можно за счет использования для перекрытия того же пролета нескольких простых балок, как показано, например, на рис.2.1. Взяв две балки длиной l /2

каждая (рис.2.2), можно уменьшить максимальные значения моментов в четыре раза. Однако еще большего эффекта можно добиться, используя многопролетные статически определимые балки специальной конструкции. Такие балки образуются одним из двух способов.

Первый способ. К простой двухопорной или консольной балке присоединяется новая балка с помощью шарнира и одного опорного стержня. К полученной неизменяемой и статически определимой системе аналогичным способом крепиться другая балка и т.д. (рис.2.3).

Таким способом можно получить статически определимую балку с любым количеством пролетов.

Второй способ. Между двумя простыми балками, одна из которых может быть двухопорной или защемленной одним концом, а вторая должна быть двухопорной (с двумя вертикальными опорными стержнями), вставляется третья балка, которая крепится к первым двум с помощью шарниров (рис. 2.4). В результате образуется геометрически неизменяемая и статически определимая система. Процесс образования можно представить как присоединение к неизменяемой системе АВ диска СD с помощью трех стержней 1,2 и 3, не пересекающихся в одной точке и не параллельных друг другу. Описанные выше способы можно комбинировать.

Пример многопролетной статически определимой балки, образованной комбинированным способом, показан на рис. 2.5.

Для того, чтобы рассчитать любую из изображенных на рис. 2.3-2.5 многопролетных балок на действие заданных нагрузок, необходимо прежде всего найти усилия во всех внешних и внутренних связях, использованных для образования системы. Для этого нужно мысленно расчленить систему на отдельные балки в местах их соединения шарнирами, приложить к балкам силы взаимодействия и составить для каждой из них уравнения равновесия. Проиллюстрируем сказанное на примере расчета балки рис. 2.3. Пусть балка нагружена, как показано на рис. 2.6.

Расчленим заданную конструкцию на три части в местах их соединения шарнирами, т.е. в точках В и С, и покажем силы взаимодействия в этих точках. Расчлененная конструкция показана на рис. 2.7.

Составим теперь уравнения равновесия для балок АВ, ВС и СD.

Балка АВ:

(2.1)

Балка ВС:

(2.2)

Балка С D:

(2.3)

Получили систему из 9 уравнений с 9 неизвестными: Решив эту систему, найдем перечисленные выше реакции. Дальнейший расчет каждой балки в отдельности может быть выполнен методами сопротивления материалов. Анализ уравнений (2.1)-(2.2) показывает, что система трех уравнений равновесия балки АВ (2.1) содержит 5 неизвестных: Система трех уравнений равновесия балки ВС также содержит 5 неизвестных: И, наконец, система трех уравнений равновесия балки СD (2.3) содержит 3 неизвестных: Таким образом, нет необходимости решать уравнения (2.1) - (2.3) как систему связанных уравнений. Можно решить отдельно уравнения (2.3) и из них найти Затем из уравнений (2.2) при известных можно найти , после чего из уравнений (2.1) можно определить Следовательно, правильный выбор последовательности расчета существенно упрощает вычисления. Сделать такой выбор позволяет анализ взаимодействия отдельных балок. В схеме 2.7 основной является балка АВ, она имеет шарнирно-неподвижную и шарнирно-подвижную опоры и вследствие этого является геометрически неизменяемой и статически определимой. На нее в точке В опирается балка ВС, имеющая дополнительную шарнирно-подвижную опору в точке 2. В свою очередь, точку С можно рассматривать как шарнирно-неподвижную опору для балки СD. Наряду с шарнирно-подвижной опорой в точке 3, эта опора обеспечивает неизменяемость балки СD. Описанная схема взаимодействия изображена на рис. 2.8.

Подобные схемы иногда называют поэтажными. Нетрудно убедиться, что если начать расчет с самой верхней на поэтажной схеме балки, то это приведет к трем системам уравнений, которые были описаны выше на основе анализа уравнений (2.1) - (2.3).