Типовые задачи с решениями

Задача 1. На вклад начисляются сложные проценты: 1) ежегодно; 2) ежеквартально; 3) ежемесячно. Какова должна быть годовая номинальная процентная ставка, при которой про­исходит реальное наращение капитала, если ежемесячный темп инфляции составляет 3%?

Решение

1) Обозначим через ежемесячный (т.е. за 1/12 года) индекс инфляции, тогда и при к=12 находим индекс инфляции за год:

Пусть г - процентная ставка при ежегодном начислении сложных процентов, тогда зна­чение ставки, лишь нейтрализующей действие инфляции, нахо­дится из равенства (т.е. множитель наращения за год приравнивается к годовому индексу инфляции). Таким образом:

Реальное наращение капитала будет проис­ходить только при процентной ставке, превышающей 42,58% годовых.

2) При ежеквартальном начислении сложных процентов для определения номинальной ставки, лишь нейтрализующей дейст­вие инфляции, пользуемся равенством:

, поэтому:

Реальное наращение капитала будет проис­ходить при еже­квартальном начислении процентов по ставке не меньше, чем 37,09% годовых.

3) В случае ежемесячного начисления процентов пользуемся равенством

, откуда:

Реальное наращение капитала будет проис­ходить при ежемесячном начислении сложных процентов по ставке, не меньше, чем 36% годовых. В этом случае ответ можно было дать сразу, поскольку для осуществления реального наращения капитала его относительный рост за месяц должен превышать темп инфляции за это же время. Следовательно, , поэтому

Задача 2. Номинальная процентная ставка, компенсирующая действие инфляции, равна 52% годовых. Определите полугодовую инфляцию, если начисление сложных процентов осуществляется каждый квартал.

Решение

Приравняем годовой индекс инфляции к множителю наращения за год. Полагая , получим:

Поэтому индекс инфляции за полгода (0,5 года) составит:

Темп инфляции α находим из условия .

Темп инфляции за полгода равен 27,69%.

Задача 3. На вклад в течение трех лет будут начисляться непрерывные проценты. По прогнозам инфляция за это время за каждый год последовательно составит 15, 20 и 10 процентов. Какова должна быть сила роста за год, чтобы покупательная способность вклада не уменьшилась?

Решение

Поскольку индекс инфляции за первый год равен 1,15, за второй - 1,2 и за третий - 1,1, то индекс инфляции за 3 года составит:

1,15×1,12×1,1=1,518

Пусть s - сила роста за год, позволяющая первоначальной сумме только сохранить свою покупательную способность. Приравнивая индекс инфляции за три года к множителю нара­щения за это же время, получим: , поэтому

Сила роста должна превышать 13,91% за год.

Задача 4. На вклад в течение 15 месяцев начисляются проценты: 1) по схеме сложных процентов; 2) по смешанной схеме. Какова должна быть процентная ставка, при которой происходит реальное наращение капитала, если каждый квартал цены увеличиваются на 8%?

Решение

1) Так как темп инфляции за каждый квартал ра­вен 8%, то индекс инфляции за каждый квартал (0,25 года) равен 1,08. Поэтому индекс инфляции за 15 месяцев (1,25 года, или 5 кварталов) составит:

Обозначим через r искомую годовую процентную ставку и приравняем этот индекс инфляции к множителю наращения при использовании схемы сложных процентов:

(1+r)^1,25 =1,4693.

Отсюда:

Ставка должна превышать 36,05% годовых.

При рассмотрении этого случая можно было рассуждать и таким образом. При инфляции 8% за каждый квартал годовой темп инфляции составит 1,08⁴-1=0,3605=36,05%. Реальное же наращение капитала будет происходить, если годовая процент­ная ставка превышает годовой темп инфляции, т.е. г > 36,05%.

2) Пусть теперь применяется смешанная схема. Приравнивая индекс инфляции за 1,25 года к множителю наращения, получим квадратное уравнение относительно r:

(1+r).(1+0,25r)= 1,4693

Решая уравнение, определяем корни: r = -5,3508, r =0,3508.

Очевидно, что по смыслу первый корень не подходит. Следова­тельно, при использовании смешанной схемы ставка должна превышать 35,08% годовых. «Граничное» значение ставки в этом случае получили почти на 1% меньше, чем в предыдущем, что объясняется большей эффективностью смешанной схемы начисления по сравнению со схемой сложных процентов.

Обратим внимание, что для ответа на вопрос в данном слу­чае необходимо фактически решить неравенство:

(1+r)(1+0,25r)>1,4693

Задача 5. На вклад 280 тыс. руб. ежеквартально начис­ляются сложные проценты по номинальной годовой процентной ставке 10%. Оцените сумму вклада через 21 месяц с точки зре­ния покупательной способности, если ожидаемый темп инфля­ции – 0,5 % в месяц.

Решение

При наращении сложными процентами при ежеквартальном начислении процентов сумма вклада составит:

Индекс инфляции за 1,75 года при темпе инфляции 2% в месяц составит

Величина вклада с точки зрения ее покупательной способности равна

Вычитая из этой величины первоначальную сумму вклада, найдем реальный доход владельца вклада:

Задача 6. Кредит на сумму 120 тыс.руб. выдается сроком на 3 года при условии начисления сложных ссудных процентов. Индекс цен за указанный период равен 2,5. Какова должна быть процентная ставка по кредиту, чтобы реальная доходность кредитной операции составляла 10% годовых? Рассчитайте сумму к погашению с учетом инфляции.

Решение

По формуле (7.5) при m=1; r=0,1;I=2,5;n=3

=0,4923

Поэтому ставка 49,23% при ежегодном начислении сложных процентов и индексе цен 2,5 обеспечит реальную доходность кредитора 10% годовых.

Сумму к погашению с учетом инфляции находим по формуле (3.1) (Занятие 3) при n=3; r=0,4923;P=121

F=120(1+0,4923)³ =399,3

Сумма к погашению с учетом инфляции равна 399 300 руб.

Задачи для подготовки к занятию

Задача 1. На вклад в течение 18 месяцев начисляются проценты а) по схеме сложных процентов; б) по смешанной схеме. Какова должна быть годовая процентная ставка, при которой происходит реальное наращение капитала, если каждый квартал цены увеличиваются на 2 %?

Задача 2. На некоторую сумму, помещенную на депозит в банк, в течение 8 лет будут начисляться непрерывные проценты. По прогнозам инфляция в это время каждый год будет составлять 1%. Какова должна быть сила роста за год, чтобы сумма вклада через восемь лет по своей покупательной способности не уменьшилась?

Задача 3. На вклад в 500 тыс. руб. каждый квартал начисляются сложные проценты по номинальной годовой процентной ставке 4%. Оцените сумму вклада через 3 года с точки зрения покупательной способности, если ожидаемый темп инфляции –1 % за квартал.