Тема 3. Квадратные уравнения

Определение. Квадратным уравнением называют уравнения вида

a х² + bx + c = 0, где коэффициенты a, b, c любые действительные числа, причём

D = b² – 4 a c называют дискриминантом квадратного уравнения.

Если D>0, то уравнение имеет два корня, которые находятся по формулам х_1,2 = (х₁ = , х₂ = ).

Если D=0, то уравнение имеет один корень, который находится по формуле х = .

Если D<0, то уравнение не имеет корней.

Решим квадратные уравнения:

а) 3х² + 8х – 11 = 0.

Решение: а = 3, b = 8, с = -11.

D = b² – 4ас = 8² – 4^.3^.(-11) = 64 + 132 = 196.

х_1,2 = =

х₁ =

х₂ =

Ответ: 1;

б) 2х² + 4х + 7 = 0.

Решение: а = 2, b = 4, с = 7.

D = b² – 4ас = 4² – 4^.2^.7 = 8 - 56 = -40 <0.

Так как D<0, данное уравнение не имеет корней.

в) 4х² - 20х + 25 = 0.

Решение: а = 4, b = -20, с = 25.

D = b² – 4ас = (-20)² – 4^.4^.25 = 400 - 400 = 0.

х_1,2 = = . Ответ: 2,5.

Решите уравнение:

1) х² + 6х + 8 = 0; 2) х² - 5х + 6 = 0; 3) х² - 2х - 15 = 0;

4) x ² + 6 x – 40 = 0; 5) x ² + x – 2 = 0; 6) х² - 3х - 18 = 0; 7) х² + 4х + 4 = 0; 8) х² - 6х + 9 = 0; 9) 2х² + 3х + 1 = 0;

10) 3х² - 3х + 4 = 0; 11) 5х² - 8х + 3 = 0; 12) 14х² - 5х - 1 = 0;

13) 4х² + 10х - 6 = 0; 14) 14х² - 5х - 1 = 0; 15) 3х² - 8х + 5 = 0;

16) 4х² - 12х + 9 = 0; 17) 5 х ² + 8 х – 4 = 0; 18) 5 х ² + 14 х – 3 = 0;

19) 7 х ² – 9 х – 10 = 0; 20) 7 х ² – 18 х – 9 = 0; 21) х² = 2х + 48;

22) 6х² + 7х = 5; 23) х² = 4х + 96; 24) 2х² – 2 = 3х;

25) -х² = 5х - 14; 26) -3х² +5 = 2х; 27) 25 = 26х – х²;

28) -5х² = 9х - 2; 29) х² + 7х + 2 = 0; 30) 2х² + 3х – 1 = 0.

2. Найдите корни уравнения:

1) (х + 4)² + (х + 4) – 12 = 0;. 2) (х – 3)² – 2(х – 3) – 15 = 0;

3) (х + 3)² – 2(х + 3) – 8 = 0; 4) (х – 5)² + 3(х – 5) – 10 = 0;

5) (х – 2)² = 3х – 8; 6) (х + 3)² = 2х + 6;

7) (х – 1)² = 29 – 5х; 8) (х + 2)² = 43 – 6х;

9) 5(х + 2)² = -6х – 44; 10) 4(х – 1)² = -12х + 3;

11) (х + 3)² -16 = (1 - 2х)²; 12) (х – 2)² + 24 = (2 + 3х)²;

13) (х – 2)(х + 2) = 7х – 14; 14) (х – 3)(х + 3) = 5х – 13;

15) (-х – 1)(х - 4) = х (4х – 11); 16) (х + 4)(2х - 1) = х (3х + 11);

17) -х ( – х) = (х - 1)(х + 1); 18) -х (4х + 1) = (х + 1)(х - 2);

39) 5(х - 2) = (х - 2)(3х + 2); 40) 7(1 - х) = (2х + 3)(1 – х);

41) ; 42) ; 43) ;

44) ; 45) ; 46) ;

47) ; 48)