Структурный анализ и обработка нечисловой информации

Проведение социально-экономической политики государства отражается в изменении пропорций между отраслями, регионами, территориями, социальными группами населения и др. Для принятия эффективных решений часто необходимо определять наличие структурных изменений, оценивать их существенность в целом и в различных сравниваемых периодах, определять динамику и тенденции структурных сдвигов.

Структурный анализ. Для проведения статистического анализа изменения структуры необходимо иметь данные об исследуемом показателе не менее чем за два сравниваемых периода, либо данные о двух объектах за один и тот же период. Исходные данные могут быть представлены в виде временных рядов наблюдений, либо в фиксированный момент времени. Изменение структуры во времени называется структурным сдвигом, а различия между объектами в конкретный момент времени - структурными различиями. В зависимости от исходных данных с использованием статистических средств анализа можно оценить: а) структурные сдвиги во времени (за ряд лет) по одному показателю; б) структурные различия объектов исследования (например, предприятий, районов, областей) в конкретный момент времени.

При наличии данных по нескольким показателям (объем продукции, капитальные вложения, основные фонды и численность в одном разрезе, например, в разрезе отраслей), можно для каждого из них провести исследование, а затем, интегрировав полученные результаты, получить более полную информацию.

Указанные задачи нельзя решить средствами описательной статистики, включая графические средства, так как они способны лишь констатировать факт изменения отдельных элементов структуры. Изменение структуры любого экономического показателя происходит постоянно, но важно иметь количественную меру этих изменений, характеризующую их существенность и сравнимость по отношению к другим периодам наблюдения, тенденцию изменения структуры.

Анализ структурных сдвигов. Так как структурным является любой показатель, состоящий из суммы нескольких элементов и выражаемый в относительных величинах (обычно процентах), то математически его структуру можно записать как

F(t,1), F(t,2), …, F(t,j)…, F(t,М),

где М - количество элементов в структурном показателе; j - номер элемента в структурном показателе (j = 1,2,...М); N - количество уровней наблюдений; t - порядковый номер наблюдений (t = 1,2,...N); Y(t, j) - j -й элемент показателя в t -ом периоде наблюдения.

Если показатель задан абсолютными значениями, то для перехода от абсолютных к относительным значениям следует просуммировать для каждого момента времени все элементы, входящие в состав сводного показателя, а затем разделить на нее все эти наблюдения. В результате будем иметь F(t, j) - для всех j элементов структуры и всех периодов наблюдения. Структура в момент времени t запишется как F(t,1), F(t,2),…, F(t,M).

С учетом введенных обозначений постановку задачи анализа структурных сдвигов можно формулировать следующим образом. При помощи статистических средств на основе данных F(t, j), характеризующих изменение структуры из М элементов за N периодов, провести анализ изменений структуры по сравнению с каким-либо конкретным моментом времени, а также определить особенности ее изменения в целом на периоде наблюдения и возможное состояние структуры в будущем.

Для сравнения структур двух наблюдений можно использовать абсолютные и относительные показатели. Абсолютные приросты показывают скорость изменения удельных весов, а относительные (темпы роста) - интенсивность их изменения. Эти показатели не пропорциональны, характеризуют разные стороны изучаемой структуры и потому должны использоваться совместно.

Для характеристики изменения структуры в одном периоде по сравнению с базисным периодом целесообразно использовать линейные (Л) и квадратичные (К), абсолютные (А) и относительные (О) показатели (П). В математическом виде эти коэффициенты выглядят следующим образом:

где F(t₁, j) - структура сравниваемого периода; F(t₀,j) - структура начального периода; [ ] - знак по модулю, показывающий, что все слагаемые берутся со знаком "плюс".

Таким образом, показатель ЛАП является средней арифметической из абсолютных приростов удельных весов всех элементов структуры, КАП - средней квадратической из абсолютных отклонений удельных весов всех элементов структуры (оба эти показателя указывают, на сколько процентов в среднем отклоняются друг от друга удельные веса одноименных элементов сравниваемых структур; если они близки к нулю, то изменений не произошло).

Показатель ЛОП равен сумме абсолютных значений разности удельных весов, а КОП показывает, на сколько в среднем отклоняются темпы роста отдельных частей целого от их среднего значения, равного 100%. Близость значений этих показателей к нулю свидетельствует об отсутствии структурных изменений.

ЛАП и ЛОП проще КАП и КОП, но последние точнее отражают степень структурных сдвигов. Опыт показал, что оценки по ним существенно не различаются, поэтому на практике предпочтение обычно отдают наиболее простым показателям.

Два сравниваемых уровня наблюдений могут отстоять друг от друга более чем на один шаг. Поэтому для всех этих показателей целесообразно вычислять средние значения за указанный период наблюдений. В отличие от общих значений, они характеризуют не величину изменений структуры, а интенсивность ее изменения. Средние показатели позволяют более точно сравнивать изменения структуры периодов, которые имеют различный интервал. Выбор периодов сравнения может определяться календарными сроками (например, при использовании месячных данных исследовать сдвиги за квартал, а годовых данных - за пятилетку) либо конкретными экономическими соображениями (например, сравнить изменение структуры до начала и после некоторого периода действия нового хозяйственного механизма).

Показатели изменения динамики. Для оценки особенностей изменения структуры во времени t =1,2,...N используются следующие динамические коэффициенты:

а) коэффициент S(t), измеряющий структурный сдвиг за весь период с первого наблюдения до момента t. Он вычисляется как сумма абсолютных отклонений всех элементов структуры в периоде t от базового года и аналогичен базисному темпу прироста. Если ежегодно за весь период наблюдается высокая интенсивность структурных сдвигов, а результирующий сдвиг незначителен, то состояние структуры близко к исходному, а сдвиги имеют в основном колебательный характер:

;

б) коэффициент P(t), измеряющий изменение структуры за два соседних периода наблюдений (он аналогичен цепному темпу прироста, показывая, произошел ли структурный сдвиг в периоде Т и какой именно):

;

в) коэффициент монотонности M(t), показывающий, сохранил ли структурный сдвиг существующие тенденции изменения элементов структуры или нарушил их; если все элементы структуры меняют свое направление, то коэффициент принимает свое минимальное значение M(t)=0, а если изменяются монотонно, то - M(t)=1.

М(t)=C(t) / P(t),

где C(t) – вычисляется как P(t), но только для тех элементов, у которых сохраняется направление изменения.

Значение М(t) тем выше, чем больше компонент с заметным удельным весом сохраняют направление своего изменения. Если средний коэффициент монотонности больше 0.7, то изменения структуры считаются устойчивыми (монотонными). Если он меньше 0.3, то можно утверждать, что изменения носили устойчивый характер, но в противоположном начальному направлении. Значение коэффициента в интервале от 0.3 до 0.7 свидетельствует о немонотонном изменении структуры. Для этих показателей вычисляются средние значения, причем для P(t) и M(t) - средние арифметические, а для S(t) - средняя геометрическая.

Попарное сравнение отдельных наблюдений позволяет дать оценку изменения структуры в фиксированные, наиболее интересные для пользователя моменты времени. Однако оно не позволяет выявить динамику, а следовательно, и тенденции этих изменений. При помощи статистических средств можно получить ответы на вопросы:

«Как сильны структурные сдвиги?», «Насколько устойчивы изменения структуры?»

Если имеется достаточно длинный период наблюдений, можно воспользоваться математическими методами для получения прогнозных оценок изменения структуры. В данном случае они рассчитываются для всех элементов структуры по линейной модели, параметры которой определены методом наименьших квадратов. При исследовании структурных сдвигов шаг наблюдения может быть любым (год, квартал, месяц и др.), но для прогнозирования он должен быть одинаковым. В целом прогнозные оценки, полученные на основе математических методов, опираются на закономерности прошлого развития и потому более точны при плавном, а не скачкообразном изменении структуры. Если же исследование провести по нескольким взаимосвязанным показателям, то можно получить характеристику их взаимных структурных сдвигов.

Исследование структурных различий. Задача исследования структурных различий аналогична описанной выше с той лишь разницей, что время здесь фиксировано, а объектами исследования (уровней) выступают районы, области, формы собственности и др. Для этого вместо индекса t для обозначения уровней наблюдений используют i. При помощи статистических средств на основе данных F(i, j), характеризующих изменение структуры из М элементов и N объектов, можно провести анализ различия структуры какого-то конкретного объекта по сравнению с другими и ответить, например, как сильно отличаются друг от друга государства, регионы, области, районы, отрасли по структуре потребления населением товаров и услуг. Специфика данных отражается на статистических показателях Часто не нужны почти все динамические характеристики (кроме коэффициента структурных сдвигов S(t)) и прогнозов, а иногда целесообразно использовать лишь показатели сравнения двух наблюдений.

Пример 6.1. Необходимо провести анализ безубыточности и структурных сдвигов производства двух видов продукции А, В, выпускаемых предприятием АВС (табл. б. 1).

Решение. Реализацию продукции рассмотрим как набор относительных долей продукции в общей сумме выручки от реализации. Если структура меняется, то объем выручки может достигать заданной величины, а прибыль может быть меньше. Влияние на прибыль может определятся сдвигом в ассортименте - в сторону низко- или высокорентабельной продукции.

Как следует из таблицы 14.10, на реализацию одной единицы продукции А приходится две шт. продукции В. Тогда при достижении критической точки объема реализации потребуется х шт. продукции А и 2х шт. продукции В. Подставляя в уравнение определения чистой прибыли (ЧП) от реализации продукции

ЧП = ВРП-ПpЗ × Ц_i -N × ПрЗ_i -ПЗ,

где ВРП - выручка от реализации продукции, ПрЗ - переменные затраты за этот же объем реализации, ПЗ - постоянные затраты в общей сумме, N -количество единиц продукции, Ц_i - цена единицы продукции, ПрЗ_i -переменные затраты на единицу продукции,

исходные данные при условии, что в критической точке ЧП=0, получаем:

ЧП= N × Ц_i - N × ПрЗ_i - ПЗ;

(2000 × х + 4000 × 2x) - (1500 × x + 2000 × 2х) - 3000000 = 0.

Отсюда имеем: 10000х-5500х-30000000; х=6666.

Таким образом, в критической точке объем продукции А составляет 6666 шт., объем продукции В - 13332 шт. Критическая точка объема реализации продукции предприятия АВС составит 19998 шт. (6666 + 13332-19998).

Таблица 14.10. Продукция А, В предприятия АВС

№	Показатели финансово-сбытовой деятельности	А	В	С
	Объем реализации продукции, шт.
	Цена за единицу продукции, шт.			-
	Выручка от реализации, тыс.руб.
	Переменные расходы на шт., руб.			-
	Переменные расходы на весь объем реализации, тыс.руб.
	Маржинальный доход, тыс.руб.
	Постоянные расходы, тыс.руб.	х	х
	Чистая прибыль, тыс.руб.	х	х

Пусть в течении времени произошли изменения структуры реализованной продукции, приведенные в табл. 14.11.

Таблица 14.11. Продукция Д, В предприятия АВС в результате структурных сдвигов

№	Показатели финансово-сбытовой деятельности	А	В	С
	Объем реализации продукции, шт.
	Цена за единицу продукции, шт.			-
	Выручка от реализации, тыс.руб.
	Переменные расходы на шт., руб.			-
	Переменные расходы на весь объем реализации, тыс.руб.
	Маржинальный доход, тыс.руб.
	Постоянные расходы, тыс.руб.	х	х
	Чистая прибыль, тыс.руб.	х	х

Сопоставление структуры продукции и финансовых показателей в этой ситуации дает увеличение чистой прибыли и доли продукции с высоким маржинальным доходом. Расчет критической точки объема реализации продукции в этом случае составит следующее:

(2000х + 2,75 × 4000х)- (1500х+2000 × 2,75х)- 30000000 = 0;

(х+11х) - (1,5х + 5,5х) – 30000 = 0;

12х - 7х =30000; х = 6000.

Таким образом, критическая точка объема реализации соответствует 6000 шт. продукции А, 16500 шт. продукции В при общем объеме продукции в 22500 шт. (6000 + 16500 = 22500).

Сравнивая полученные результаты с первоначальным вариантом, отметим, что критическая точка изменилась на 3502 шт. продукции в сторону увеличения объема (при неизменном объеме реализации в натуральном выражении). Следовательно, даже при контроле общего объема продаж необходим анализ структурных сдвигов, так как он дает отклонение фактической прибыли от запланированной. Максимизация реализации продукции рассматривается и с позиций обеспеченности ресурсами (дополнительные производственные мощности могут оказаться бесполезными).

Если воспользоваться при расчетах методом маржинального дохода (МД)

МЦ = ВРП - ПрЗ; КТ==ПЗ/МД_i,

где КТ — критическая точка объема продаж, МД_i — маржинальный доход на единицу продукции, то в нашем примере получим следующие результаты:

КТ = ПЗ/МД= =30000000 /48000000/30000 - 9000/0,48 = 18750 пгг.

В целом маржинальный подход обеспечивает менеджера данными о постоянных расходах, о возможности их возмещения общей маржей, о величине маржинального дохода от каждого вида продукции, о маржи-нальности каждого продукта (маржинальный доход, приходящийся на единицу продукции). Он лежит в основе управленческих решений, связанных о пересмотром цен, изменением ассортимента выпускаемой продукции, установлением размера премий, стимулирующих реализацию продукции, проведение рекламной кампании и др.

Обработка нечисловой информации. Во многих экономико-статистических исследованиях, наряду с количественными показателями, используются качественные характеристики, обработка которых требует применения специального математического аппарата.

Руководство пользователя. Каждый элемент выборки одновременно классифицируется с помощью двух факторов или признаков: А (r классов или уровней) и В (с классов), это позволяет получить (r*с) - таблицу сопряженности признаков для выборки объема n, где f_ij обозначает число индивидуумов с i-м уровнем признака А и j -м уровнем признака B, f_i — общее число индивидуумов в строке с, а f_j - в столбце j, i = 1,...,r; j = 1,..., с.

Построив эту таблицу, можно проверить гипотезы о факторах А и B, сформулировав их в терминах независимости факторов А и В. В этом контексте независимость означает, что доля общего числа индивидуумов в строке (столбце), принадлежащая произвольному(ой), но фиксированному(ой) столбцу (строке), одна и та же для всех строк (столбцов).

В некоторых ситуациях уровни одного фактора (например, А) являются непересекающимися подпопуляциями W₁, W₂, …, W_r популяции W. В этом случае гипотезу независимости можно формулировать и как гипотезу об однородности фактора В по отношению к уровням фактора А. Заметим, что в большинстве случаев уровни А, расслаивающие W на подпопуляции, измеряются в шкале наименований, а уровни В могут измеряться как в шкале наименований, так и в порядковой шкале. Кроме того, непрерывные случайные величины, измеряемые в интервальной или относительной шкалах, могут быть преобразованы в порядковую шкалу.

Таблицу сопряженности признаков для двух случайных величин можно использовать для оценки совместного распределения этих двух величин. Поэтому частотная таблица классификации по двум признакам обобщает понятие гистограммы, а критерий независимости признаков А и В и для случайных величин X и Y. Если они обладают двумерным нормальным распределением, то более желательно вычислить выборочный коэффициент корреляции между ними и уже с его помощью проверить независимость.

Для проверки гипотезы как об однородности, так и о независимости часто используется процедура, состоящая в вычислении ожидаемой частоты F_ij, в ячейке ij: с вычислением значения:

Если верна нулевая гипотеза, то это значение имеет приблизительно распределение хи-квадрат с v = (r- 1) (с -1) степенями свободы, а Р - значение равно площади под кривой плотности (v) справа от точки . Нулевая гипотеза отвергается, если Р меньше заранее выбранного уровня значимости.

Виды статистик и меры связанности. Рассмотрим простейший, но достаточно распространенный случай классификации гипотез по двум факторам А и В, каждый с двумя классами (a₁, а₂) и (b₁, b₂). Пусть f_ij - наблюдаемая частота в ячейке ij, f_i - сумма частот в строке i, f_ij - в столбце j, а п - общий объем выборки (i,j = 1, 2). Проверяется нулевая гипотеза, об отсутствии зависимости между А и B. Для таблиц сопряженности необходимо рассчитать ряд следующих статистик (табл.14.12): для 2х2 -

таблицы - обычную статистику хи-квадрат или статистику с учетом поправки Йетса, которая при больших n распределена приблизительно как хи-квадрат с одной степенью свободы, а также функции разности D = между наблюдаемой и ожидаемой частотами, статистиками которых являются коэффициенты связанности Юла Q и Y.

Таблица 14.12. Расчетные статистики для таблиц сопряженности

Виды статистик	Формула расчета
Для таблиц 2х2: обычная хи-квадрат с учетом поправки Йетса коэффициенты связанности Юла Q и Y асимптотические стандартные оценки - отношение перекрест-ных произведений (шансов)	(1) (2) (3) (4) ; (5) (6) ; (7)
Для (rc) таблиц:* Меры на хи-квадрате: коэффициент сопряженности признаков Пирсона степень связанности Крамера мера Кендалла при r=c мера Кендалла при S=P-Q мера Стюарта r<c или r>c коэффициент ранговой корреляции Спирмана	(8) ; ; (9) ); (10) (11) ; (12) ; (13) (14) ; (14) ; (15) ; (16) ; (17) ; (18) (19)

Полезную меру связанности дает отношение перекрестных произведений, называемое еще отношением шансов. Его важность состоит в том, что он служит мерой относительного риска входного признака А и выходного признака В. Отношение шансов определяется из логистической модели и ему можно приписать следующий смысл. Если исходный фактор А имеет уровни (а₁, а₂), а результирующий фактор В - уровни (b₁, b₂), то отношение шансов о можно интерпретировать следующим образом: шансы на то, что индивид выйдет на уровень b₁, если известно, что он начинал с уровня а₁ в о раз больше, чем если бы он начинал с а₂.

Рассмотрим теперь общий случай - таблицы сопряженности признаков. Пусть f_ij - наблюдаемая частота в ячейке ij, f_i - сумма в строке i, f_j -

сумма в столбце; (i = 1,..., r,j = 1,..., с), а n - общий объем выборки. Две меры, основанные на хи-квадрат, используются как показатели степени связанности между признаками. Одной из них является введенный Пирсоном коэффициент сопряженности признаков. Эта статистика обладает рядом удобных свойств, так как она находится в [0;1], однако нежелателен тот факт, что верхний предел С зависит от размера таблиц. Уровень значимости для критерия Е(С) = 0 тот же, что и для критерия независимости хи-квадрат.

Другая мера степени связанности была введена Крамером, который показал, что процент выборочного распределения можно получить простой заменой переменных в распределении хи-квадрат.

Можно вычислять также меры связанности для упорядоченных таблиц сопряженности признаков, в которых уровни А упорядочены от 1 до r, а уровни В - от 1 до с. Эти меры — мера Кендалла, мера Стюарта и мера Cпирмана, относятся к корреляционному анализу и используются как непараметрические меры, причем мера Кендалла применяется в случае r = c, мера Стюарта, если r<с или r >с. Все три меры изменяются в диапазоне [-1; +1].

Таким образом, статистики хи-квадрат (обычная и скорректированная), коэффициент сопряженности, мера Крамера, а также меры Стюарта, Кендала и Спирмана обычно вычисляются всегда. Однако для корректного использования трех последних мер необходима уверенность в упорядоченности таблиц сопряженности.

Заметим, что для таблицы 2х2, кроме этих мер, вычисляются метрики Q-Юла, Y-Юла и относительных шансов.

Принятие решений

Система поддержки принятия решений, реализованная в программе «СтатЭксперт», предназначена для реализации окончательного принятия решений, когда уже определены цели и условия развития процессов и необходимо сделать выбор одного из некоторого конечного множества рассматриваемых вариантов: Е_i Î Е. Каждым вариантом Е_i (E₁, E₂, …, E_i,…, E_m) однозначно определяется некоторый результат e_i - выигрыш, полезность, надежность и др. Эти результаты должны допускать количественную оценку, и для их простоты можно отождествлять с соответствующими результатами, обозначая одним и тем же символом e_i. Обычно ищется вариант с экстремальным значением результата, т.е. max e_iили min e_i.

Под результатом решения e_ij можно понимать оценку, соответствующую варианту Е_i и условиям F_j и характеризующую экономический эффект (прибыль) или полезность решения. Семейство решений к примеру, можно описать некоторой матрицей, содержащей iвариантов при i = 1,…,n условий решений при j = 1,…,m.

Исходными данными при принятии решений выступает матрица решений, в которой каждому варианту (Е_i) поставлены в соответствие условия решений (F_j). В последней строке матрицы решений ("Вероятность") представлена вероятность реализации решений.

Пример 6.2. Пусть предприятие АВС решает вопрос: производить ли ему на имеющемся оборудовании 250 тыс. комплектующих деталей или покутить их на стороне по цене 370 руб./шт. (исходные данные для расчета себестоимости приведены в табл 14.13).

Приобретая деталь на стороне, предприятие сможет избежать переменных издержек в сумме 75 млн. руб. и снизить постоянные расходы на 10 млн. руб. Необходимо проанализировать ситуацию и выбрать наиболее выгодный для предприятия вариант ранения: а) изготавливать всю партию деталей самостоятельно; б) изготавливать самостоятельно максимально возможное гарантированное количество - 200 тыс.шт. деталей, а остальные -приобретать на стороне; в) приобретать все детали на стороне и использовать высвободившееся оборудование для производства других деталей, что может принести прибыль в размере 18 млн. руб.

Таблица 14.13. Основные затраты предприятия АВС

Показатели затрат	Сумма, млн. руб.
Прямые материалы на весь объем производства деталей	-40,0
Прямая зарплата	20,0
Переменные накладные расходы	15,0
Постоянные расходы	50,0
Итого	125,0

Решение: на принятие решения оказывают влияние следующие факторы.

1) Есть сомнения в том, что комплектующие для собственного производства будут поставлены в срок. В этом случае предприятие сможет произвести только 200 тыс.шт. деталей; за каждую недопоставленную деталь предприятие выплатит 1 тыс. руб. неустойки. Вероятность этого события (событие a ) составляет a = 0.3.

2) При определенном стечении обстоятельств партнер сможет обеспечить в срок поставку 125 тыс.шт. деталей. Как и в предыдущем случае, за каждую недопоставленную деталь предприятие выплатит 1 тыс. руб. неустойки. Вероятность этого события (событие b) составляет b = 0.2. В этих условиях возможно также приобретение небольшой партии изделий в 500 тыс.шт. по цене 600 руб./ шт. Постоянные расходы остаются на первоначальном уровне (50 млн.руб), а все переменные затраты уменьшаются пропорционально изменению объема, т.е. на 20%. Таким образом, общие затраты по данному варианту не зависят от вероятностных факторов и составляют:

50000 × 600 + 0,8 (40 +20 +15) ×10⁶ -30 +(50 +60) = 140 млн.руб.

Считая, что события a и b независимы, составим матрицу полезности (табл. 14.14).

Таблица 14.14. Матрица решений для предприятии АВС, млн-руб.

Варианты	Себестоимость продукции, млн. руб.
F₁	F₂	F₃	F₁
E₁	-125	-160	-125	-160
E₂	-140	-140	-140	-140
E₃	-114.5	-114.5	-193.5	-193.25
Вероятность	0.56	0.24	0.14	0.06

В качестве элементов матрицы возьмем расчетные значения себестоимости варианта со знаком минус (чем ниже себестоимость, тем лучше вариант). В верхней строке таблицы приведено событие, которому соответствует расчет в столбце, а в нижней строке - оценка вероятности этого события. Так, запись “ ” соответствует событию НЕa и НЕb, которое в условиях задачи F₁ совершится с вероятностью (1-a)(1-b)=(1-0,3)(1-0,2)=0,56. Условие F₁ означает, что все комплектующие будут поставлены в срок и партнер сможет обеспечить в срок поставку готовых деталей.

Отметим, что при расчете себестоимости вариантов, связанных с событием a учитывается, что постоянные расходы останутся на прежнем уровне, что приведет к увеличению себестоимости единицы продукции. При расчете всех вариантов, связанных с неблагоприятными событиями, неустойка складывается с расчетной себестоимостью.

Критерии принятия решений. Всякое решение в условиях неполной информации - сознательно или неосознанно - принимается в соответствии с какой-либо оценочной функцией, выбор которой должен осуществляться с учетом количественных характеристик ситуации, в которой принимаются решения. В настоящее время применяют следующие критерии принятия решений: минимаксный критерий, критерии Байеса-Лапласа, критерий Сэвиджа, критерий Гурвица, критерий Ходжа-Лемана, критерий Гермейра и критерий произведений.

Эти критерии можно использовать поочередно, причем после вычисления их значений среди нескольких вариантов приходится все-таки волевым образом выделять некоторое окончательное решение, что позволяет, во-первых, лучше проникнуть во все внутренние связи проблемы принятия решений и, во-вторых, ослабить влияние субъективного фактора

При минимаксном критерии используют оценочную функцию UMM, соответствующую позиции крайней осторожности:

Матрица решений ||e_ij|| дополняется еще одним столбцом из наименьших результатов e_ir каждой строки. Выбрать надлежит те варианты E_iO, в строках которых стоят наибольшие значения e_ir этого столбца

Выбранные таким образом варианты полностью исключают риск. Это означает, что принимающий решение не может столкнуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориентируется. Какие бы условия F_jни встретились, соответствующий результат не может оказаться ниже Z_MM. Это свойство заставляет считать минимаксный критерии одним из фундаментальных.

Критерием Байеса-Лапласа учитывается каждое из возможных следствий. Если q_j- вероятность появления внешнего состояния F_j, то для данного критерия имеем следующую оценочную функцию Z_BL:

Исходная позиция ЛПР в этом случае оптимистичнее, чем в случае минимаксного критерия, однако она предполагает более высокий уровень информированности и достаточно длинные реализации.

Оценочная функция критерия СэвиджаZs имеет вид:

Величину можно трактовать как максимальный дополнительный выигрыш, который достигается, если в состоянии F_j вместо варианта E_i выбрать другой, оптимальный для этого внешнего состояния вариант. Можно интерпретировать a_ijи как потери (штрафы), возникающие в состоянии F_j при замене оптимального для нее варианта на вариант E_i. При интерпретации a_ij в качестве потерь величина e_irпредставляет собой максимальные возможные (по всем внешним состояниям) потери в случае выбора варианта E_i. Эти максимально возможные потери минимизируются за счет выбора подходящего варианта E_i. Соответствующее критерию Сэвиджа правило выбора в этом случае интерпретируется так: каждый элемент матрицы решений ||e_ij|| вычитается из наибольшего результата соответствующего столбца. Разности a_ij образуют матрицу остатков ||a_ij||. Эта матрица пополняется столбцом наибольших разностей e_ir.Выбираются те варианты E_iO, в строках которых стоит наименьшее для этого столбца значение.

Стараясь занять наиболее уравновешенную позицию, Гурвицем предложен критерий, оценочная функция Z_HW которого находится где-то между точками зрения предельного оптимизма и крайнего пессимизма:

где с - весовой множитель, значение которого изменяется в интервале [0;1].

Правило выбора по критерию Гурвица формулируется следующим образом. Матрица ранений ||e_ij|| дополняется столбцом, содержащим средние взвешенные наименьшего и наибольшего результатов для каждой строки. Выбираются те варианты E_iO, в строках которых стоят наибольшие элементы e_ir этого столбца Для c = 1 критерий Гурвица превращается в минимаксный критерий, при с = 0 он превращается в критерий азартного игрока. Чаще всего c = 0.5 без возражений принимается в качестве некоторой средней точки зрения.

При критерии Ходжа-Лемана происходит одновременный учет свойств минимаксного критерия и критерия Байеса-Лапласа С помощью параметра n, значение которого изменяется в интервале [0,1], выражается степень доверия к используемому распределению вероятностей. Если это доверие велико, то предпочтение отдается критерию Байеса-Лапласа, в противном случае - минимаксному критерию. Оценочная функция Z_HL этого критерия определяется:

Правило выбора соответствующее данному критерию, формулируется следующим образом. Матрица решений ||e_ij|| дополняется столбцом, составленным из средних взвешенных (с постоянными весами) математического ожидания и наименьшего результата каждой строки. Отбираются те варианты решений E_iO, в строках которых стоит наибольшее значение этого столбца. При n = 1 критерий Хoджа-Лемана переходит в критерии Байеса-Лапласа, а для n=0 - в минимаксный критерий.

В качестве оценочной функции критерия Гермейра выступает функция Z_G:

Данный критерий ориентирован на величины потерь, т.е. на отрицательные значения всех e_ij. Поскольку в хозяйственных задачах преимущественно имеют дело с ценами и затратами, условие e_ij < 0 обычно выполняется. В случае же, когда среди величин e_ij встречаются и положительные значения, можно перейти к строго отрицательным значениям с помощью преобразования (e_ij - а) при соответствующим образом подобранном а < 0 (заметим, что оптимальный вариант решения зависит от а).

Правило выбора согласно критерию Гермейра при этом формулируется следующим образом. Матрица решений ||e_ij|| дополняется еще одним столбцом, содержащим в каждой строке наименьшее произведение имеющегося в ней результата на вероятность соответствующего состояния F_j. Вбираются те варианты E_iO, в строках которых находится наибольшее значение e_ir этого столбца. В некотором отношении критерий Гермейра обобщает минимаксный критерий. В случае равномерного распределения q_j = 1/n, j = 1, …, n, они становятся идентичными.

При критерии произведений, ориентированном на величины выигрышей, т.е. на положительные значения e_ij, оценочная функцию Z_pимеет следующий вид:

Правило выбора в этом случае формулируется следующим образом. Матрица решений дополняется новым столбцом, содержащим произведения всех результатов каждой строки. Выбираются те варианты E_iO, в строках которых находятся наибольшие значения этого столбца. Критерий произведений адаптирован в первую очередь на случаи, когда все е_ij > 0. Если указанное условие нарушается, то следует выполнить некоторый сдвиг (e_ij+a) с некоторой константой a>| |. Разумеется, результат применения критерия существенно зависит от этой константы а. На практике в качестве значения а обычно используют величину | |+1. Если же константа а не имеет содержательного смысла, то к таким проблемам критерий произведений не применим.