double arrow

Приклади розв’язку задач

Приклад 1. Рівняння руху матеріальної точки уздовж осі має вид , де A = 2 м, B = –2 м/с, C = 0,5 м/с3. Знайти координату, швидкість і прискорення точки в момент часу t = 3 с. Знайти середні значення швидкості і прискорення у проміжок часу від 1 с до 3 с.

Дано: ; A = 2 м, B = –2 м/с, C = 0,5 м/с3; t = 3 с,
t1 = 1c, t2 = 3 c.

Знайти: , , , , .

Розв’язок. Координату х знайдемо, підставивши в рівняння руху числові значення коефіцієнтів А, В, С і часу t.

Миттєва швидкість щодо осі х – це перша похідна від координати за часом:

. (1)

Миттєве прискорення точки знайдемо, узявши першу похідну від швидкості за часом:

. (2)

Обчислення.

Для моменту часу t = 2 с одержимо

x = (2 – 2?3 + 0,5·33) (м) = 9,5 м;

= (–2 + 3·0,5·32) м/с= 11,5 м/с;

a1 = (6·0,5·3 )м/с2 = 9 м/с2.

Середня швидкість визначається відношенням

,

де х1 = 2 – 2t1 + 0,5t13 = 0,5 м; х2 = 2 – 2t2 + 0,5t23 = 9,5 м/с.

Тоді

м/с.

Середнє прискорення визначається за формулою , згідно (1)

–2 + 3?0,5 = –0,5 м/с, –2 +3?0,5 = 11,5 м/с.

Тоді

м/с2.

Відповідь:x = 9,5 м; = 4,5 м/с; a = 6 м/с2.

Приклад 2. Тіло кинуте з висоти 12 м під кутом 300 до горизонту з початковою швидкістю 12 м/с. Визначити тривалість польоту тіла до точок A і B (рис. 1.1), максимальну висоту, на яку піднімається тіло, і дальність польоту тіла. Опір повітря не враховувати.

Дано: H = 12 м; α = 300; 12 м/с. Знайти:tА, tВ, hmax, xmax. Розв’язок. У системі координат, показаній на рис. 1.1, проекції початкової швидкості на осі координат дорівнюють: ; (1) ; (2) Координати тіла з часом змінюються Рис. 1.1.

відповідно до рівняння рівнозмінного (вздовж осі y) та рівномірного (вздовж осі x) руху

; (3)

. (4)

Час підйому тіла знайдемо за умови, що в найвищій точці підйому тіла вертикальної складової його швидкості . Тоді з виразу (2) знайдемо час tп, що пройшов до підйому тіла на максимальну висоту

. (5)

Час спуску тіла від точки C до точки A дорівнює часу підйому, тому тривалість польоту тіла від точки O1 до точки A дорівнює

. (6)

Максимальну висоту підйому знайдемо з рівняння (4), підставивши в нього час підйому з рівняння (5)

. (7)

Час польоту тіла до точки В знайдемо, розв’язуючи квадратне рівняння (нефізичний розв’язок відкидається), отримане з виразу (4), у якому кінцева координата y(t) прирівнюється до нуля

. (8)

Дальність польоту знайдемо з рівняння (3), підставивши в нього час руху з рівняння (8)

. (9)

Обчислення.

tА = 2·12·sin300/9,81 = 1,22 с.

tВ = = 2,29 c.

Hmax = 12 + (12·sin300)2/(2·9,81) = 13,84 м;

xmax = 12?2,29?cos300 = 23,8 м.

Відповідь:tА = 1,22 с; tВ = 2,99 с; Hmax = 13,84 м; xmax = 23,8 м.

Приклад 3. Тіло обертається навколо нерухомої осі за законом
x = A + Bt + Ct2, де A = 10 рад, B = 20 рад/с, С = –2 рад/с2. Знайти повне прискорення точки, що знаходиться на відстані r = 0,1 м від осі обертання, для моменту часу t = 4 с.

Дано: x = A + Bt + Ct2, A = 10 рад, B = 20 рад/с, C = –2 рад/с2; r =
= 0,1 м; t = 4 с.

Знайти: a(t).

Розв’язок. Повне прискорення точки, що рухається по кривій лінії, може бути знайдене як геометрична сума тангенціального прискорення , спрямованого по дотичній до траєкторії, і нормального прискорення , спрямованого до центра кривизни траєкторії (рис. 1.2): Рис. 1.2.

.

Оскільки вектори і взаємно перпендикулярні, модуль повного прискорення дорівнює

. (1)

Модулі тангенціального і нормального прискорень тіла, що обертається, виражаються формулами ; , де – модуль кутової швидкості тіла; – модуль його кутового прискорення.

Підставляючи вираз і у формулу (1), знаходимо

. (2)

Кутову швидкість знайдемо, узявши першу похідну кута повороту за часом t: .

Кутове прискорення знайдемо, узявши першу похідну від кутової швидкості за часом: .

У момент часу t = 4 с:

рад/с = 4 рад/с; рад/с2.

Обчислення.

Підставляючи значення , і r у формулу (2), одержуємо

= 1,65 м/с2.

Відповідь:a = 1,65 м/с2.

Приклад 4. На тіло масою 100 кг, що лежить на похилій площині, яка утворює кут 400 з горизонтом, діє горизонтальна сила 1500 Н (рис. 1.3). Визначити прискорення, з яким рухається тіло, якщо коефіцієнт тертя дорівнює 0,1.

Дано: m = 100 кг; F = 1500 Н; 400; 0,1. Знайти: a. Розв’язок.Виберемо напрямок координатних осей так, щоб одна з них була спрямована уздовж похилої площини (Ox), а інша – перпендикулярно до неї (Oy). На тіло діють сила F – паралельно до основи похилої площини, сила ваги mg – вертикально вниз, реакція Рис. 1.3.

опори Q – перпендикулярно до похилої площини, і сила тертя Fтр – уздовж похилої площини вбік, протилежний рухові.

Запишемо другий закон Ньютона у векторній формі

. (1)

Для переходу до скалярної форми знайдемо проекції всіх діючих сил на координатні осі. Складові сили F на осі координат дорівнюють

; . (2)

Складові сили ваги mg на осі координат дорівнюють

; . (3)

Сила Q діє тільки уздовж осі Oy, а сила тертя Fтер – протилежно до осі Ox.

Оскільки в напрямку Oy складова прискорення дорівнює нулю, з (1) – (3) виходить

. (4)

Проекція рівняння (1) на вісь (Ox) у цьому випадку має вид

. (5)

Сила тертя дорівнює добуткові сили нормального тиску тіла N на коефіцієнт тертя

. (6)

Оскільки сила N за третім законом Ньютона дорівнює силі Q

. (7)

Таким чином, з (5)–(7) можна одержати остаточний вираз для прискорення a

. (8)

Обчислення.

Підставляючи значення , і r у формулу (8), одержуємо

м/с2.

Відповідь:a = 3,4 м/с2.

Приклад 5. Тіло масою 1 кг рухається по прямій відповідно до рівняння x = 2t2 + 4t + 1. Визначити роботу, яку виконує постійна сила за перші 10 с після початку руху, і залежність кінетичної енергії тіла від часу.

Дано: x = 2t2 + 4t + 1; m = 1 кг; t = 10 с.

Знайти: A; T = T(t).

Розв’язок. Робота A може бути визначена за допомогою криволінійного інтеграла від потужності P у заданому проміжку часу

. (1)

При прямолінійному русі потужність можна знайти як добуток діючої сили F на швидкість тіла

. (2)

Швидкість знайдемо як першу похідну за часом від координати
тіла

. (3)

Силу можна визначити за допомогою другого закону Ньютона

, (4)

де a – прискорення тіла, що знайдемо як першу похідну за часом від його швидкості

. (5)

Підставляючи вираз (2)–(4) у (1) і інтегруючи в зазначених границях, одержимо

. (5)

Кінетичну енергію тіла знайдемо з визначення за допомогою виразу (3) для швидкості

. (6)

Обчислення.

A = 8·1·(10+2)·10 = 960 Дж.

Відповідь:A = 960 Дж; T = 8m(t + 1)2.

Приклад 6. При пострілі з пружинного пістолета вертикально нагору куля масою 20 г піднялася на висоту 5 м. Визначити жорсткість пружини пістолета, якщо вона була стиснута на 10 см. Масою пружини і силами тертя знехтувати.

Дано: m = 0,02 кг; h = 5 м; x = 0,1 м.

Знайти: k.

Розв’язок. Розглянемо систему «пружина – куля». Оскільки на тіла системи діють тільки консервативні сили, то для розв’язку задачі можна застосувати закон збереження енергії в механіці. Відповідно до нього, повна механічна енергія E1 системи в початковому стані (у даному випадку перед пострілом) дорівнює повній енергії E2 у кінцевому стані (коли куля піднялася на висоту h), тобто E1 = E2, або

T1 + W1= T2 + W2, (1)

де T1, T2, W1 іW2 – кінетичні і потенційні енергії системи у початковому і кінцевому станах. Оскільки кінетичні енергії кулі у початковому і кінцевому станах дорівнюють нулеві, то рівність (1) набуває виду

W1 = W2, (2)

Приймемо, що потенціальна енергія кулі в полі сил тяжіння Землі, знаходячись в стані спокою на стиснутій пружині, дорівнює нулю, а висоту підйому кулі будемо відраховувати від торця стиснутої пружини. Тоді енергія системи у початковому стані буде дорівнювати потенціальній енергії стиснутої пружини, тобто , а в кінцевому стані – потенціальній енергії кулі на висоті h, тобто W2 = mgh.

Підставивши виразW1 іW2 у формулу (2), знайдемо

. (3)

Обчислення.

k = 2?0,02?9,81?5/(0,1) = 196 Н/м.

Відповідь:k= 196 Н/м.

Приклад 7. На двох шнурах однакової довжини по 0,8 м підвішено дві свинцевих кулі масами 0,5 і 1 кг (рис. 1.4). Кулі стикаються між собою. Кулю меншої маси відвели вбік так, що шнур відхилився на кут = 600, і відпустили. На яку висоту піднімуться обидві кулі після зіткнення? Удар вважати центральним і абсолютно непружним. Визначити енергію, витрачену на деформацію куль при ударі.   Рис. 1.4.

Дано: m1 = 0,5 кг, m2 =1 кг; = 600; l = 0,8 м, = 0.

Знайти: h; ?E.

Розв’язок. Оскільки удар куль непружний, то після взаємодії вони будуть рухатися з однаковою загальною швидкістю u. При такому ударі виконується тільки закон збереження імпульсу:

, (1)

де і – швидкості куль до удару.

Швидкість великої кулі до удару дорівнює нулю. Швидкість меншої кулі знайдемо, використовуючи закон збереження енергії. При відхиленні меншої кулі на кут (рис. 1.4) їй надається потенціальна енергія, яка потім переходить у кінетичну. Безпосередньо перед ударом кінетична енергія цієї кулі дорівнює вихідній потенціальній енергії

, (2)

де h1 – максимальна вихідна висота підйому першої кулі.

Висоту h1, як видно з рисунка, можна знайти з виразу

. (3)

З формул (2) і (3) знайдемо

. (4)

З рівнянь (1) і (4) знаходимо швидкість куль після удару

. (5)

Кінетична енергія, якою володіють кулі після удару, переходить у їхню потенціальну енергію

, (6)

де h – максимальна висота підняття куль після зіткнення.

З формул (5) і (6) знаходимо

. (7)

При непружному ударі куль частина енергії витрачається на їх деформацію. Енергія деформації визначається різницею кінетичних енергій до і після удару

. (8)

Обчислення.

= 0,044 м.

=1,3 Дж.

Відповідь:h = 0,044 м; ?E = 1,3 Дж.

Приклад 8. Молот масою 70 кг падає з висоти 5 м і вдаряє по залізній поковці, що лежить на ковадлі. Маса кувалди разом з поковкою 1330 кг. Вважаючи удар абсолютно непружним, визначити енергію, що витрачається на деформацію виробу. Систему молот-поковка-ковадло вважати замкненою.

Дано: m1 = 70 кг, m2 =1330 кг; h = 5 м.

Знайти: EД.

Розв’язок. За умовою задачі система молот-поковка-ковадла вважається замкненою, а удар непружний. На підставі закону збереження енергії можна вважати, що енергія, витрачена на деформацію поковки, дорівнює різниці значень механічної енергії системи до і після удару.

Вважаємо, що під час удару змінюється тільки кінетична енергія тіл, тобто незначним переміщенням тіл по вертикалі під час удару нехтуємо. Тоді для енергії деформації виробу маємо

, (1)

де u – загальна швидкість усіх тіл системи після непружного удару, а – швидкість молота наприкінці падіння з висоти h.

Швидкість легко знайти, тому що початкова потенціальна енергія молота (на висоті h) дорівнює його кінетичній енергії безпосередньо перед ударом об поковку

. (2)

Зауважимо, що для даної системи виконується закон збереження імпульсу

. (3)

З виразу (2) можна знайти швидкість , а потім з виразу (3) – швидкість u

; (4а)

. (4б)

Підставляючи вираження (4) у (1), тепер легко одержати остаточну формулу

.

Обчислення.

= 325,85 Дж.

Відповідь:EД = 325,85 Дж.

Приклад 9. Яку мінімальну швидкість потрібно надати ракеті, щоб вона, стартуючи з Землі, назавжди залишила її? Опором повітря знехтувати.

Дано: R3 = 6,37·106 м; g = 9,81 м/с2; R → ∞.

Знайти: .

Розв’язок. Відповідно до умови задачі система Земля-ракета є замкненою і консервативною. Тому можна застосувати закон збереження повної механічної енергії ракети

, (1)

де m – маса ракети; M – маса Землі; – швидкість ракети; r – відстань між ракетою і центром Землі.

У початковій точці (на поверхні Землі) швидкість ракети , а r = R3. Для того, щоб ракета не повернулась на Землю, очевидно, у кінцевий момент часу слід покласти: ; . Цьому станові, як випливає з виразу (1), відповідає повна механічна енергія ракети, що дорівнює нулю. Таким чином, і початкова енергія ракети буде дорівнювати нулю

. (2)

Відповідно до закону всесвітнього тяжіння на поверхні Землі сила притягання дорівнює

, (3)

звідки випливає корисне співвідношення

. (4)

Таким чином, підставляючи виразу (4) у (1), одержимо остаточно

. (5)

Обчислення.

м/с.

Відповідь: 11,2 км/с.

Приклад 10. Маховик, маса якого рівномірно розподілена по ободу з радіусом 40 см, вільно обертався з частотою 720 об/хв. навколо горизонтальної осі, що проходить через його центр симетрії. Потім на маховик почав діяти постійний гальмуючий момент сил, внаслідок чого він зупинився через 30 с. Знайти гальмуючий момент сил і число оборотів, що зробив маховик за цей час, якщо його маса 4 кг.

Дано: n0 = 720 об/хв = 12 об/с; nτ = 0; m = 4 кг; R = 0,4 м; t = 30 с.

Знайти: M; N.

Розв’язок. Рух маховика підкоряється рівнянню динаміки обертального руху, що при постійному моменті сил M має вид

. (1)

Тут J – момент інерції маховика, – зміна його кутової швидкості за проміжок часу Δt. Для розглянутого випадку ці величини визначаються такими формулами

; (2)

; (3)

, (4)

де , .

Підставляючи ці вирази в (1), знайдемо пошукуваний момент сил

. (5)

Число оборотів, виконаних маховиком, пов’язано з повним кутом повороту маховика виразом

. (6)

Для того, щоб знайти скористаємося тим, що зміна кінетичної енергії маховика дорівнює роботі, яка виконаній гальмуючим моментом сил

, (7)

або

. (8)

Таким чином, з виразу (5)–(8) можна остаточно одержати:

. (9)

Обчислення.

M = 2·3,14?4·0,42·(0 – 12)/30 = –1,61 Н;

N = (0 + 12)·30/2 = 180.

Відповідь:M = –1,61 Н; N = 180 оборотів. Знак «–»указує на те, що момент сил гальмуючий.

Приклад 11. Через блок у вигляді суцільного диска, що має масу 80 г (рис. 1.5), перекинуто тонку гнучку нитку, до кінців якої підвішено вантажі з масами 100 г і 200 г. Визначити прискорення, з яким будуть рухатися вантажі, якщо їх полишити н самих себе. Тертям і масою нитки знехтувати. Дано: m = 0,08 кг; m1 = 0,1 кг; m2 = 0,2 кг. Знайти: a. Рис. 1.5.

Розв’язок. Система, що рухається, складається з трьох тіл – двох вантажів і блоку, для яких можна застосувати рівняння руху. Обидва вантажі рухаються поступально, і на кожен діють дві сили: сила ваги і сила натягу нитки. Направивши вісь x вертикально донизу, для кожного вантажу можна записати рівняння руху (рівняння другого закону Ньютона) у проекціях на цю вісь

; (1)

. (2)

Блок обертається під дією моментів сил і щодо осі, перпендикулярної до площини креслення і спрямованої за креслення, у результаті чого він набуває кутове прискорення , обумовлене рівнянням динаміки обертального руху для твердого тіла

, (3)

де J – момент інерції блоку.

Для суцільного диска момент інерції відносно осі, що проходить по осі симетрії, маємо

. (4)

Лінійне прискорення вантажів чисельно дорівнює тангенціальному прискоренню точок на зовнішній поверхні блоку, тому що відсутнє проковзування нитки. Прискорення a і зв’язані співвідношенням

. (5)

Нитки, як видно з умови задачі, можна вважати невагомими. Тому, згідно з третім законом Ньютона, відповідні сили дорівнюють

; (6а)

. (6б)

Підставляючи вирази (4)-(6) у (3), після нескладних перетворень легко одержати

. (7)

Рівняння (1), (2) і (7) являють собою систему, що містить три невідомі величини – прискорення a і сили натягу ниток T1 і T2. Для її розв’язку можна, наприклад, замінити знаки на протилежні в (1), а потім скласти між собою відповідно ліві і праві частини всіх рівнянь системи. В результаті легко одержати остаточний вираз для пошукуваного прискорення

. (8)

Обчислення.

= 2,88 м/с2.

Відповідь: a = 2,88 м/с2.

Приклад 12. Платформа у вигляді суцільного диску радіусом 1,5 м і масою 180 кг обертається біля вертикальної осі з частотою 10 об/хв. У центрі платформи стоїть людина масою 60 кг. Яку лінійну швидкість щодо підлоги приміщення буде мати людина, якщо вона перейде на край платформи?

Дано: m1 = 180 кг; m2 = 60 кг; n1 = 10 об/хв = 1/6 об/с; R = 1,5 м;
r = 0.

Знайти: .

Розв’язок. Відповідно до умови задачі момент зовнішніх сил відносно осі обертання, що збігається з геометричною віссю платформи, можна вважати рівним нулю. За цієї умови діє закон збереження моменту імпульсу системи «платформа – людина»

. (1)

Тут L і – відповідно моменти імпульсу системи у вихідному й у кінцевому станах, для яких можна записати такі вирази

; (2)

. (3)

У цих виразах прийнято такі позначення: J1 і J2 – моменти інерції платформи і людини у початковому стані; і – у кінцевому стані, відповідно; і – кутова швидкість обертання платформи у початковому й у кінцевому станах.

Кутову швидкість можна виразити через частоту обертання n, а величину пов’язати з пошукуваною кінцевою лінійною швидкістю людини

. (4)

. (5)

Зауважимо, що, відповідно до умови задачі, момент інерції платформи не змінюється, а для моменту інерції людини застосовною, є формула моменту інерції матеріальної точки

; (6)

; (7a)

(7б)

Тепер можна підставити вираження (2) і (3) у (1), використовуючи (4), (6) і (7). В результаті, приймаючи до уваги, що r = 0, а , можна одержати

. (8)

Остаточну формулу одержимо, підставляючи отриманий вираз у вираз (5)

. (9)

Обчислення.

= 1 м/с.

Відповідь: = 1 м/с.

Приклад 13. Стрижень довжиною 1 м рухається повз спостерігача із швидкістю 0,8c (c – швидкість світла у вакуумі). Якою буде довжина цього стрижня в системі відліку, пов’язаної зі спостерігачем?

Дано: l0 = 1 м; = 0,8c.

Знайти: l.

Розв’язок. Залежність довжини тіла від швидкості в релятивістській механіці виражається формулою

. (1)

Підставляючи у формулу (1) числові значення, одержимо

= 0,6 м.

Відповідь: l = 0,6 м.

Приклад 14. Дві частинки рухаються назустріч одна одній із швидкостями щодо нерухомого спостерігача: 1) ; ; 2) ; . Знайти їхню відносну швидкість у першому і другому випадках.

Дано: 1) ; u = 0,75c; 2) , u = 0,75c.

Знайти: u.

Розв’язок. Закон додавання швидкостей у релятивістській механіці визначається формулою

, (1)

де u швидкість частинки в базовій інерціальній системі відліку К, – швидкість частинки в інерціальній системі відліку , – швидкість системи щодо системи К. Зважаючи на те, що частинки рухаються на зустріч одна одній, формулу (1) треба записати таким чином

, (2)

звідки відносна швидкість частинок буде визначатись так

. (3)

Зробимо обчислення.

1) .

2) .

Таким чином, 1) ні в одній інерціальній системі відліку швидкість не може бути більшою ніж швидкість світла; 2) швидкість розповсюдження світла у вакуумі абсолютна.

Відповідь: 1). ; 2) .

Приклад 15. Визначити релятивістський імпульс електрона, кінетична енергія якого дорівнює 5 МеВ.

Дано: T = 5 МеВ = 8·10-13 Дж; m = 9,31·10-31 кг.

Знайти: p.

Розв’язок. Імпульс релятивістської частки може бути знайдений з виразу

, (1)

де Е – повна енергія частинки; Е0 – енергія спокою частинки, E0 =mc2 = = 0,51 МеВ = 81·10-13 Дж.

Різниця ЕЕ0 = Т – кінетична енергія частинки; Е + Е0 = 2Е0 + Т, (тому що Е = Е0 + Т). Це дозволяє пов’язати релятивістський імпульс з кінетичною енергією

. (2)

Тут c – швидкість світла у вакуумі.

Обчислення.

кг·м/с.

Відповідь: p = 2,8·10-21 кг?м/с.

КОНТРОЛЬНА РОБОТА № 1

101. Два тіла рухаються відповідно до рівнянь: x1 = A1t + B1t2 + C1t3; x2 = = A2t + + B2t2 + C2t3, де A1 = 4 м/с, B1 = 8 м/с2; C1 = –16 м/с3; A2 =
= 2 м/с, м/с2; C2= 1 м/с3. В який момент часу прискорення цих тіл будуть однакові? Знайти швидкості тіл у цей момент.

102. Рух матеріальної точки описується рівнянням S = 4t4 + 2t2 + 7. Знайти її швидкість і прискорення в момент часу t = 2 с і середню швидкість за перші 2 с руху.

103. По заданому рівнянню руху тіла S = 4 + 2t + 5t2 знайти миттєву швидкість наприкінці 3 с руху. Визначити середню швидкість і відстань, пройдену тілом за цей час.

104. На якій висоті вектор швидкості тіла, кинутого під кутом 450 до горизонту з початковою швидкістю 20 м/с, буде складати з ним кут 300? Опір повітря не враховувати.

105. Камінь, кинутий горизонтально з вершини пагорба, упав на його схилі на відстані 40 м від вершини. Визначити початкову швидкість каменю, якщо схил пагорба можна прийняти за площину, нахилену під кутом 300 до горизонту.

106. З вежі висотою 49 м у горизонтальному напрямку кинуто важке тіло зі швидкістю 5 м/с. Встановити, на якій відстані від вежі воно впало. Визначити тангенціальне і нормальне прискорення тіла в точці падіння тіла.

107. Закон руху точки по кривій виражається рівнянням S = 2 – 4t2 + t3. Знайти: 1) шлях, пройдений точкою за проміжок часу від t = 0 до
t = 4 с; 2) радіус кривизни траєкторії в тому місці, де буде знаходитися ця точка в момент часу t = 4 с, якщо нормальне прискорення в цей момент часу 6 м/с2.

108. При стрільбі з гвинтівки куля, випущена у горизонтальному напрямку з швидкістю 350 м/с, попадає на відстані 30 м у точку прицілювання. На скільки нижче точки прицілювання буде попадати куля при стрільбі на 100 м?

109. Під яким кутом до горизонту треба кинути тіло з швидкістю 20 м/с, щоб дальність польоту була у чотири рази більшою від найбільшої висоти підйому? Визначити радіус кривизни траєкторії у верхній її точці.

110. Через скільки хвилин вектор швидкості тіла, кинутого під кутом 600 до обрію з початковою швидкістю 20 м/с, буде складати кут 300? Опором повітря знехтувати.

111. До маховика, що обертається з частотою 360 об/хв, притиснули гальмуючу колодку. З цього моменту його обертання стало рівноуповільненим із прискоренням, що дорівнює 20 рад/с2. Скільки часу буде потрібно для його зупинки? Скільки обертів зробить маховик до повної зупинки?

112. Тіло обертається навколо нерухомої осі за законом = 10 – 4t2 + t3. В який момент часу кутова швидкість обертання буде дорівнювати 12 с-1? Чому буде дорівнювати кутове прискорення в цей момент?

113. Точка рухається по колу радіусом 60 см з кутовим прискоренням 10 рад/с2. Якими будуть нормальне і повне прискорення наприкінці третьої секунди після початку руху? Чому дорівнює кут між векторами повного і нормального прискорення у цей момент?

114. Тіло обертається рівноприскорено з початковою кутовою швидкістю 5 рад/с і кутовим прискоренням 1 рад/с2. Скільки обертів зробить тіло за 10 с?

115. Рівняння обертання твердого тіла = 3t2 + t. Визначити число обертів тіла, кутову швидкість, кутове прискорення через 10 с після початку обертання.

116. Гирька, що прив’язана до нитки довжиною 0,5 м, описує коло у горизонтальній площині. Скільки обертів за хвилину робить гирька, якщо нитка відхилена від вертикалі на 300?

117. На вал радіусом 10 см намотано нитку, до кінця якої прив’язана гиря. Опускаючись рівноприскорено, гиря пройшла відстань 200 см за 10 с. Знайти тангенціальне і нормальне прискорення точки, що лежить на поверхні вала, у кінцевий момент руху.

118. Матеріальна точка рухається по колу діаметром 40 м. Залежність шляху від часу руху точки визначається рівнянням S = t3 + 4t2t + + 8. Визначити пройдений шлях, кутову швидкість і повне прискорення точки, що рухається, через 4 с після початку руху.

119. Точка рухається по колу радіусом 4 м. Закон її руху визначається рівнянням S = 8t – 2t2. Знайти момент часу, коли її кутова швидкість буде дорівнювати нулю. Визначити повний кут повороту і кількість обертів, що зробить тіло за цей час.

120. Колесо автомобіля, що оберталося з частотою 1200 об/хв., зупинилося через 20 с. Знайти кутове прискорення і число обертів з моменту початку гальмування до зупинки, якщо його рух був рівноуповільнений.

121. Кулю масою 3 кг підвісили на нерозтяжній нитці і відхилили від положення рівноваги на відстань 0,3 м по горизонталі. Визначити натяг нитки в момент проходження кулі через положення рівноваги, якщо довжина підвісу 2 м.

122. З вершини похилої площини висотою 10 м і кутом нахилу 300 починає зсковзувати тіло. Визначити швидкість тіла наприкінці спуску і його тривалість, якщо коефіцієнт тертя дорівнює 0,1.

123. На похилій площині лежить брусок вагою 10 Н. До бруска прив’язано шнур, перекинутий через блок, укріплений на верхньому кінці похилої площини. До другого кінця шнура прив’язано гирю вагою 5 Н. З яким прискоренням рухаються брусок і гиря, якщо кут нахилу площини до горизонту дорівнює 300? Тертям знехтувати.

124. Підрахувати роботу підняття вантажу вагою 2000 Н по похилій площині довжиною 5 м, що складає з горизонтом кут 300, якщо прискорення тіла при підйомі дорівнює 0,5 м/с2, а коефіцієнт тертя дорівнює 0,1.

125. Куля масою 10 г, що летить горизонтально з швидкістю 600 м/с, вдарилась у вільно підвішений дерев’яний брусок масою 5 кг і застрягла в ньому, заглибившись на 10 см. Знайти силу опору дерева рухові кулі.

126. Тіло ковзає по похилій площині довжиною 10 м, що утворює кут 450 з горизонтом. Знайти коефіцієнт тертя тіла об площину, якщо рух почався із стану спокою, а повний час руху дорівнює 2 с.

127. Камінь кинутий нагору під кутом 600 до горизонту. Кінетична енергія каменю в початковий момент дорівнює 196 Дж. Визначити кінетичну і потенціальну енергію каменя у найвищій точці його траєкторії.

128. Потяг масою 3 т рушає з місця і рухається по горизонтальному шляху під дією постійної сили тяги 400 кН. Коефіцієнт тертя дорівнює 0,005. Визначити швидкість і прискорення потягу наприкінці п’ятої секунди руху. Чому дорівнює пройдений за цей час шлях?

129. Однорідний тонкий стрижень довжиною 2 м і масою 8 кг може качатися навколо горизонтальної осі, що проходить через кінець стрижня перпендикулярно до його довжини. У середину довжини стрижня вдарилася куля масою 10 г, що летить горизонтально зі швидкістю 800 м/с, і застрягла в ньому. На який кут відхилився стрижень у результаті удару?

130. Яку потужність повинен мати електровоз, щоб він міг везти потяг вагою 1,5·107 Н в гору з ухилом 3 м на кожні 100 м шляху, з швидкістю 10 м/с?

131. Снаряд, що летів з горизонтальною швидкістю 600 м/с, розривається на два осколки. Маса одного осколка в два рази більша від маси іншого. Осколок більшої маси падає по вертикалі, а менший – під кутом 300 до горизонту. Знайти швидкість другого осколка?

132. Снаряд масою 2 кг, що летів з швидкістю 300 м/с, попадає в мішень з піском масою 100 кг і застряє в ній. З якою швидкістю й у якому напрямку буде рухатися мішень після влучення снаряду у випадках: 1) мішень нерухома; 2) мішень рухалася в одному напрямку із снарядом зі швидкістю 72 км/год.

133. Куля масою 10 кг зіштовхується з кулею масою 4 кг. Швидкість першої кулі 4 м/с, другої 12 м/с. Знайти загальну швидкість куль після удару в двох випадках: 1) мала куля наганяє велику, що рухається в тому ж напрямку; 2) кулі рухаються назустріч одна одній. Удар вважати прямим, центральним, непружним.

134. У човні масою 240 кг стоїть людина масою 60 кг. Човен пливе з швидкістю 2 м/с. Людина стрибає з човна в горизонтальному напрямку з швидкістю 4 м/с (щодо човна). Знайти швидкість човна після стрибка людини: 1) уперед по руху човна; 2) вбік, протилежний рухові човна.

135. При горизонтальному польоті з швидкістю 250 м/с снаряд масою 8 кг розірвався на дві частини. Велика частина масою 6 кг набула швидкість 400 м/с у напрямку польоту снаряда. Визначити модуль і напрямок швидкості меншої частини снаряда.

136. Знаряддя, жорстко закріплене на залізничній платформі, виконує постріл уздовж полотна залізниці під кутом 300 до лінії горизонту. Визначити швидкість відкоту платформи, якщо снаряд вилітає з швидкістю 480 м/с. Маса платформи зі знаряддям і снарядами 18 т, маса снаряда 60 кг.

137. Ковзаняр, стоячи на ковзанах на льоду, кидає камінь масою 2,5 кг під кутом 300 до горизонту зі швидкістю 10 м/с. Якою буде початкова швидкість руху ковзаняра, якщо маса його 60 кг? Переміщенням ковзаняра під час кидка знехтувати.

138. Снаряд, що летів зі швидкістю 400 м/с, у верхній точці траєкторії розірвався на два осколки. Менший осколок, маса якого складає 40 % від маси снаряда, полетів у протилежному напрямку зі швидкістю 150 м/с. Визначити швидкість більшого осколка.

139. Людина масою 70 кг, що біжить зі швидкістю 9 км/год., доганяє візок масою 190 кг, що рухається зі швидкістю 3,6 км/год., і вскакує на нього. З якою швидкістю стане рухатися візок з людиною? З якою швидкістю буде рухатися візок з людиною, якщо людина до стрибка бігла назустріч візкові?

140. Снаряд масою 20 кг, що летить горизонтально зі швидкістю 300 м/с, попадає в дрезину, заповнену піском, і застряє. Маса дрезини з піском дорівнює 1000 кг. З якою швидкістю й у якому напрямку буде рухатися дрезина після влучення снаряда у випадках: 1) мішень нерухома; 2) мішень рухалася в одному напрямку зі снарядом із швидкістю 72 км/год?

141. Суцільна куля скачується по похилій площині, довжина якої 10 м і кут нахилу 300. Визначити швидкість кулі наприкінці похилої площини. Тертя кулі об площину не враховувати.

142. Маховик, що має форму диска масою 30 кг і радіусом 10 см, було розкручена до частоти 300 об/хв. Під дією сили тертя диск зупинився через 20 с. Знайти момент сил тертя, вважаючи його постійним.

143. На обід маховика діаметром 60 см намотано шнур, до кінця якого прив’язано вантаж масою 2 кг. Визначити момент інерції маховика, якщо він, обертаючись рівноприскорено під дією сили ваги вантажу, за 3 с набув кутову швидкість 9 рад/с.

144. Маховик, що має форму диска, масою 100 кг і радіусом 50 см обертався, роблячи 360 об/хв. На циліндричну поверхню маховика почала діяти гальмуюча сила, що дорівнює 20 Н. Скільки обертів зробить маховик до зупинки?

145. Нитка з прив’язаними до її кінців вантажами масою 50 г і 60 г перекинуто через блок діаметром 4 см. Визначити момент інерції блоку, якщо під дією сили ваги вантажів він одержав кутове прискорення 1,5 рад/с2. Тертям і прослизанням нитки по блоку знехтувати.

146. Суцільний однорідний диск котиться по горизонтальній площині з швидкістю 10 м/с. Яку відстань пройде диск до зупинки, якщо його полишити на самого себе? Коефіцієнт опору рухові диска дорівнює 0,02.

147. Дві кульки, з’єднані тонким прямим стрижнем, обертаються навколо осі, що проходить через середину стрижня перпендикулярно до його довжини. Радіус кульки 2 см, маса 25 г. Обчислити кінетичну енергію кульок, якщо відстань від центру кожної кульки до осі обертання дорівнює 4 см і кульки роблять 5 об/с.

148. Порожній циліндр масою 2 кг котиться по горизонтальній поверхні зі швидкістю 20 м/с. Визначити силу, яку необхідно докласти до циліндра, щоб зупинити його на шляху 1,6 м.

149. Маховик, що має вигляд диска, масою 80 кг і радіусом 60 см обертається відповідно до рівняння = 2t + 0,5t2. Знайти миттєву потужність, що затрачується на обертання маховика в момент часу
t = 2 с. Знайти середню потужність, витрачену на обертання маховика за час від t = 0 до t = 2 с.

150. Спочатку диск, а потім обруч скачуються з похилої площини, яка утворює кут з горизонтом. Чому дорівнюють їхні прискорення? Силою тертя знехтувати.

151. На краю платформи у вигляді диска, що обертається по інерції навколо вертикальної осі з частотою 8 об/хв., стоїть людина масою 70 кг. Коли людина перейшла в центр платформи, вона стала обертатися з частотою 10 об/хв. Визначити масу платформи. Момент інерції людини розраховувати як для матеріальної точки.

152. Платформа у вигляді диска радіусом 1,5 м і масою 180 кг обертається по інерції навколо вертикальної осі з частотою 10 об/хв. В центрі платформи стоїть людина масою 60 кг. Яку лінійну швидкість відносно підлоги приміщення буде мати людина, якщо вона перейде на край платформи?

153. Кругла платформа, на краю якої стоїть людина, обертається по інерції навколо вертикальної осі. Радіус платформи 2 м, вага платформи в чотири рази більша ніж вага людини. Як і у скільки разів зміниться швидкість обертання платформи, якщо людина переміститься на 1 м ближче до центра?

154. Стрижень довжиною 1 м і масою 1 кг може обертатися навколо вертикальної осі, що проходить через його середину. В один з кінців стрижня попадає куля масою 10 г і застряє в ньому. Куля рухалася горизонтально і перпендикулярно стрижневі з швидкістю 360 м/с. З якою частотою буде обертатися стрижень із застряглою в ньому кулею?

155. На лаві Жуковського стоїть людина і тримає в руках стрижень, розміщений вертикально вздовж осі обертання лави. Стрижень служить віссю обертання колеса, розташованого на верхньому кінці стрижня. Радіус колеса 25 см. Масу колеса, що дорівнює 3 кг, можна вважати рівномірно розподіленою по ободу. Колесо робить
10 об/с. Лава не обертається. Скільки обертів за секунду буде робити лава, якщо людина поверне стрижень на 1800, і колесо виявиться внизу? Момент інерції людини і лави дорівнює 6 кг·м2. Тертям знехтувати.

156. Людина масою 60 кг знаходиться на нерухомій платформі масою 100 кг. Яку кінетичну енергію придбає платформа з людиною, якщо людина піде по колу радіусом 5 м навколо осі обертання з швидкістю 4 км/год. щодо платформи? Радіус платформи 10 м. Вважати платформу однорідним диском, а людину – точковою масою.

157. Людина стоїть в центрі лави Жуковського і тримає на витягнутих руках дві гирі масами 5 кг кожна. Відстань між гирями 1,3 м. При симетричному стисканні рук відстань від гирі до осі обертання зменшилась до 15 см, і швидкість обертання лави змінилася. Момент інерції лави з людиною на ній дорівнює 10 кг·м2. Визначити, якою стала швидкість обертання лави, якщо відомо, що при першому положенні гирь лава робила 120 об/хв.

158. На лаві Жуковського стоїть людина і тримає в руках стрижень, розміщений вертикально по осі обертання лави, що обертається з кутовою швидкістю 1 об/с. З якою кутовою швидкістю буде обертатися лава з людиною, якщо повернути стрижень так, щоб він зайняв горизонтальне положення? Сумарний момент інерції людини і лави 6 кг·м2. Довжина стрижня 2,4 м, його маса 8 кг.

159. На лаві Жуковського, яка обертається по інерції, стоїть людина і тримає у витягнутих руках дві гирі масою 5 кг кожна. Відстань від кожної гирі до осі лави 70 см. Лава обертається з частотою 60 об/хв. Як зміниться частота обертання лави і яку роботу зробить людина, якщо вона стисне руки так, що відстань від кожної гирі до осі зменшиться до 20 см? Момент інерції людини і лави (разом) щодо осі дорівнює 2,5 кг?м2.

160. Тонкий стрижень масою 300 г і довжиною 50 см обертається з кутовою швидкістю 10 рад/с у горизонтальній площині навколо вертикальної осі, що проходить через середину стрижня. Знайти кутову швидкість, якщо в процесі обертання в тій же площині стрижень переміститься так, що вісь обертання пройде через кінець стрижня.

161. Стаціонарний штучний супутник рухається по колу в площині земного екватора, залишаючись увесь час над тим самим пунктом земної поверхні. Визначити кутову швидкість супутника і радіус його орбіти.

162. Визначити роботу, яку необхідно виконати, щоб вивести ракету за межі поля тяжіння Землі, якщо ракета стартує з космічного корабля, що рухається по круговій орбіті на рівні 500 км над поверхнею Землі. Маса ракети 200 кг.

163. Чому дорівнює вага гирі масою m на екваторі, полюсі та на широті 450, якщо відома маса Землі M, її радіус R і період обертання T?

164. Ракета, яка випущена вертикально вгору, піднялася на висоту 1600 км. Знаючи прискорення вільного падіння поблизу земної поверхні (g = 9,8 м/с2) і радіус Землі (R0 = 6400 км), визначити, з яким прискоренням ракета почне падати на Землю.

165. Яку тангенціальну швидкість повинен мати штучний супутник Землі на висоті, яка дорівнює половині земного радіуса, щоб він міг обертатися навколо неї по колу?

166. Визначити швидкість, яку потрібно надати штучному супутнику Землі для того, щоб на висоті 1000 км над поверхнею Землі він зміг виконувати рух по круговій орбіті. Визначити період обертання супутника Землі на цій висоті.

167. Місяць робить один повний оберт навколо Землі протягом 27,3 діб. Знайти масу Землі.

168. На якій відстані від центру Землі повинен рухатися супутник, щоб період обертання його навколо Землі дорівнював 24 год.?

169. Яка робота буде виконана силами гравітаційного поля при падінні на Землю тіла масою 2 кг: 1) з висоти h = 1000 км; 2) з безконечності?

170. З поверхні Землі вертикально вгору випущено ракету зі швидкістю 5 км/с. На яку максимальну висоту вона підніметься?

171. Маса тіла, що рухається з визначеною швидкістю, зросла на 20 %. У скільки разів при цьому зменшилася його довжина?

172. Яку швидкість повинно мати тіло, яке рухається, щоб його повздовжні розміри зменшилися у два рази?

173. При якій відносній швидкості руху релятивістське скорочення довжини тіла, що рухається, складе 50 %?

174. Власний час життя -мезона дорівнює 2,6·10-6 с. Яку відстань пролетить -мезон до розпаду, якщо він рухається зі швидкістю 0,99с?

175. Визначити швидкість протона, якщо його релятивістська маса у три рази більша від маси спокою. Обчислити кінетичну і повну енергію протона.

176. Обчислити швидкість, повну і кінетичну енергію протона у той момент, коли його маса дорівнює масі -частинки.