Рівняння з однією змінною: означення, корінь рівняння, що значить розв’язати рівнянні

Рівність, що містить невідоме число, називається рівнянням. Значення невідомого, при якому рівняння перетворюється на правильну числову рівність, називається розв’язкам або коренем рівняння.

Розв’язати рівняння означає знайти всі його корені або довести що їх немає.

Рівняння виду ах=аб, де а і б – деякі числа, а х – невідоме, називається лінійним рівнянням з одним невідомим.

Числа а і б називаються коефіцієнтами.

• Якщо а=0, б не дорівнює 0, лінійне рівняння коренів не має, бо рівняння нвбуває вигляду 0 помножити на х=б.

• Якщо а не дорівнює нулю, лінійне рівняння має один корінь.

• Якщо а=0, то б=0, лінійне рівняння набуває вигляду 0поножити на х = 0, де х- доцільне число і рівняння має безліч коренів.

Рівносильні рівняння. Теореми про рівносильні рівняння.

Два рівняння називаються рівносильними, якщо вони мають одні і ті корені: рівняння, які не мають коренів, також вважають рівносильними.

Основні властивості рівнянь:

1. Якщо вони виконують тотожні перетворення деякої частини рівняння, то одержимо рівняння, рівносильне даному.

2. Якщо деякий доданок перенести з однієї частини рівняння в іншу, змінивши при цьому його знак на протилежний, то одержимо рівняння рівносильне даному.

3. Якщо обидві частини рівняння помножити або поділити на одне і те саме число (відмінне від нуля), то одержимо рівняння рівносильне даному.

При розв’язуванні рівнянь доцільно спростити обидві частини, потім усі доданки, які містять невідоме, зібрати в одній частині, а ті, що не містять невідомого – у другій, та звести подібні доданки.

Нерівність з однією змінною: означення, розв’язок нерівності, що означає розв’язати нерівність.

Розв’язaти нерівність — ознaчaє знaйти множину її розв’язків aбо довести, що їх не існує.

 

Розв’язок нерівності з однією змінною — це знaчення змінної, яке зaдовольняє цю нерівність.

Розв’язками нерівності називається будь-яке значення змінної, при якому початкова нерівність зі змінною обертається у правильну числову нерівність. Розв’язати нерівність зі змінною – значить знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків немає.

Рівносильні нерівності. Теореми про рівносильні нерівності.

Рівносильні нерівності — це нерівності, що мaють одні й ті сaмі розв’язки. Тобто якщо кожен розв’язок однієї нерівності зaдовольняє другу нерівність, то тaкі нерівності рівносильні. Нaприклaд, нерівність x + 1 > 2 рівносильнa нерівностям x > 1, x – 1 > 0 тa іншим.

Основні теореми про рівносильні нерівності.

 

1. Якщо з однієї частини нерівності перенести до іншої доданок із протилежним знаком, то дістанемо нерівність, рівносильну початковій.

 

2. Якщо до обох частин нерівності додати (або відняти) будь-яке число, то дістанемо нерівність, рівносильну початковій.

 

• Якщо обидві частини нерівності помножити (поділити) на додатне число, то дістанемо нерівність, рівносильну початковій; якщо обидві частини нерівності помножити (поділити) на від’ємне число, то рівносильною початковій буде нерівність протилежного змісту.