Основные понятия модели

Линейное программирование.

Краткие теоретические сведения

Постановка задач

Решение прямой задачи линейного программирования отвечает на следующий вопрос:

при каких интенсивностях n процессов получения прибыли (оказании различных услуг, производственных процессов), в которых используются m видов ресурсов (факторов производства) с известными предельными интенсивностями использования этих ресурсов выручка от реализации (прибыль) будет максимальна в случае, когда интенсивность расхода каждого ресурса и интенсивность получения прибыли (выручки) в каждом из процессов линейно зависят от интенсивности этого процесса.

Решение двойственной к ней задачи отвечает на следующий вопрос:

при каких наименьших ценах на единицу ресурса экономическому агенту будет невыгодно дальнейшее расширение процесса получения прибыли за счёт приобретения новых объёмов дефицитных в сложившихся условиях экономической деятельности ресурсов.

Прямая задача линейного программирования может быть связана со следующей ситуацией. Имеются n способов получения прибыли (оказание n видов услуг) с объёмами x_i (число штук i -й оказанных услуг)_. При этом используются m видов ресурсов, запас j -го изкоторых равен b_j. При этом расход каждого ресурса j и величина прибыли в каждом из процессов i линейно зависят от количества оказанных услуг i -го вида с коэффициентами a_ji и c_i, соответственно. Матрица А =(a_ji) _m´n по смыслу аналогична такой же из первой части и также называется матрицей технологических, или структурных коэффициентов. Тогда оптимальный по критерию максимума получения прибыли план может быть получен из решения следующей прямой задачи линейного программирования:

Этой задаче можно поставить в соответствие расширенную матрицу следующего вида:

(4.1)

Двойственная к задаче (4) задача имеет следующий вид (z_j – искомые предельные цены):

При такой формулировке двойственной задачи из условия минимизации цен вытекают (5.1) и (5.3), а из условия невыгодности продолжения деятельности прямо возникает условие превышения или равенства издержек над выручкой от реализации.

Основные понятия модели

Решение (план, программа)- набор, вектор конкретных значений всех переменных параметров управления модели – тех величин которые могут быть изменены по воле управляющего объектом моделирования. Решения бывают допустимые (реализуемые на практике), недопустимые (не реализуемые в силу существующих в модели ограничений) и оптимальные (лучшие из допустимых).

Целевая функция L(x) – математическое выражение, связывающее факторы (параметры) модели. Экономический смысл целевой функции отражает критерий оптимальности – показатель, имеющий экономическое содержание и служащий формализацией конкретной цели управления, например: максимизация прибыли (строка 1 в (4)), максимизация качества продукции или минимизация издержек (5.1).

Система ограничений модели – пределы, ограничивающие область допустимых (приемлемых, осуществимых) решений, фиксирующие основные внутренние и внешние свойства объекта, связанные с целью оптимизации. Уравнения связи (типа f_j(x)<b_j)– математическая формализация системы ограничений (строки 2 и 3 в (4), (5.2, 5.3)). Система ограничений отражает экономический смысл уравнений связи.

Система, состоящая из целевой функции и уравнений связи, - задача экономико- математического моделирования (ЭММ). В случае, когда целевая функция и уравнения связи линейны, а переменные управления меняются непрерывно, задача ЭММ называется задачей линейного программирования (ЛП). Основное свойство множества допустимых планов (МДП) задачи ЛП - оно является выпуклым многогранником. Выпуклым называется множество, которому принадлежат все отрезки, соединяющие любые две точки этого множества. Если задача ЛП имеет решение, то оно находится в вершине МДП. Планы, находящиеся в вершинах МДП, называются базовыми. Задачи линейного программирования делятся на задачи с ограничениями в форме неравенств (общая задача ЛП) и в форме равенств (каноническая задача ЛП). При математической формализации экономических задач с помощью линейной модели получаются общие задачи ЛП – например, (4), (5). Любой общей задаче путём введения дополнительных переменных может быть сопоставлена каноническая задача. Так, задаче (4) путём введения в каждое неравенство типа “расход ресурса £ запас ресурса” (строка 2 в (4)) дополнительной переменной x_n+j (неизрасходованный остаток j -го ресурса) сопоставляется следующая каноническая:

При этом размерность задачи (6) – число переменных плана - по сравнению с (4) увеличилась с n до n+m.

При решении задачи (4) важное значение имеют коэффициенты ресурсоотдачи, среди которых здесь будут использованы дифференциальные и приростные. Дифференциальный коэффициент ресурсоотдачи k_ji показывает стоимость оказанных при использовании единицы j -го ресурса i –ых услуг. Те виды услуг, для которых все k_ji оказываются наименьшими по всем видам услуг, являются наименее выгодными. Они не должны присутствовать в оптимальном плане. Это позволяет, путём принудительного обнуления объёмов оказания таких услуг снизить размерность задачи и, таким образом, упростить её решение. Вычисляются они следующим образом - k_ji=c_i/a_ji.

приростной коэффициент ресурсоотдачи К _j – это коэффициент пропорциональности между приращением значения целевой функции оптимального плана и вызвавшим это приращение изменением запасов j -го ресурса. Можно считать, что К _j показывают, на сколько увеличится значение целевой функции исходной задачи в оптимальном плане при увеличении величины запаса j -го ресурса на единицу. С математической точки зрения является полной производной от оптимального значения целевой функции по величине запаса j -го ресурса: К _j=dL_opt / db_j.