Промежуточный срез №5

Вариант №1

3. Определение векторного пространства.

1. Выяснить, является ли данная система векторов линейно зависимой или линейно независимой: , , .

Вариант №2

1. Линейная комбинация системы векторов.

2. Даны: вектор x =(1,2,1) и базис g₁= (1,1,1), g₂= (0,0,1), g₃= (0,1,1). Найти координаты вектора x в базисе g₁, g₂, g₃.

Вариант №3

1. Линейно зависимая и линейно независимая системы векторов.

2. Найдите собственные векторы и собственные значения матрицы

Вариант №4

1. Формула перехода к новому базису.

3. Выяснить, образуют ли векторы базис пространства R3, если: , , .

Вариант №5

1. Определение линейного оператора.

2. Исследовать на знакоопределенность квадратичную форму: .

Вариант №6

1. Образ и прообраз.

2. Найдите собственные векторы и собственные значения матрицы

Вариант №7

1. Собственные значения (собственные числа) и собственные векторы линейного оператора.

2. Даны: вектор x =(1,2,3) и базис g₁= (0,1,1), g₂= (0,0,1), g₃= (1,1,1). Найти координаты вектора x в базисе g₁, g₂, g₃.

Вариант №8

1. Характеристическое уравнение и характеристический многочлен оператора.

3. Выяснить, является ли данная система векторов линейно зависимой или линейно независимой: , , .

Вариант №9

1. Квадратичные формы.

2. Исследовать на знакоопределенность квадратичную форму: .

Критерии выставления баллов за самостоятельную работу в соответствие с балльно-рейтинговой системой приведены в следующей таблице.

Кол-во баллов	Критерии оценки	Формируемые компетенции
5 баллов	Работа выполнена на 85-100%. Студент владеет материалом, отсутствуют ошибки при описании теории, формулирует собственные, самостоятельные, обоснованные, аргументированные суждения, представляет полные и развернутые ответы на дополнительные вопросы, демонстрирует сформированность всех компетенций.	ПК-4
4 балла	Работа выполнена на 70-84%. Студент владеет материалом, отсутствуют ошибки при описании теории, формулирует собственные, самостоятельные, обоснованные, аргументированные суждения, допуская незначительные ошибки при ответе на дополнительные вопросы, демонстрирует наличие основных компетенций.	ПК-4
3 балла	Даны правильные решения на 40-69% Студент владеет материалом на минимально допустимом уровне, отсутствуют ошибки при описании теории, испытывает затруднения в формулировке собственных обоснованных и аргументированных суждений, допуская незначительные ошибки при ответе на дополнительные вопросы, демонстрирует некоторое наличие компетенции.	ПК-4
2 балла	Работа выполнена на 30-39%. Студент не владеет материалом, допуская ошибки по сущности рассматриваемых (обсуждаемых) вопросов, испытывает затруднения в формулировке собственных обоснованных и аргументированных суждений, допускает ошибки при ответе на дополнительные вопросы.	ПК-4
1-0 баллов	Решены правильно менее 30% задач. Студент практически не владеет материалом, допуская грубые ошибки, испытывает затруднения в формулировке собственных суждений, неспособен ответить на дополнительные вопросы.	__

Вопросы к экзамену

Курс, 1 семестр

1. Понятие матрицы. Виды матриц. Операции над матрицами.

2. Определитель квадратной матрицы. Теорема Лапласа. Свойства определителей.

3. Обратная матрица. Алгоритм вычисления обратной матрицы.

4. Системы линейных уравнений. Основные понятия.

5. Системы линейных уравнений. Метод обратной матрицы.

6. Системы линейных уравнений. Метод Крамера.

7. Системы линейных уравнений. Элементарные преобразования. Метод Гаусса.

8. Понятие ранга матрицы. Теорема Кронекера-Капелли.

9. Обратная матрица. Второй метод вычисления обратной матрицы.

10. Векторы. Основные понятия. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Свойства.

11. Основные задачи в координатах. Скалярное произведение векторов и его свойства.

12. Векторное произведение векторов, свойства.

13. Смешанное произведение векторов, свойства.

14. Различные виды уравнений прямой на плоскости.

15. Основные задачи с прямыми на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

16. Различные виды уравнения плоскости в пространстве.

17. Взаимное расположение двух плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости.

18. Уравнения прямой в пространстве.

19. Кривые второго порядка. Окружность.

20. Кривые второго порядка. Эллипс.

21. Кривые второго порядка. Гипербола.

22. Кривые второго порядка. Парабола.

23. Комплексные числа. Операции над комплексными числами.

24. Комплексные числа. Формы записи комплексного числа.

25. Основные формулы для комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме.

26. Векторное пространство. Размерность и базис векторного пространства. Свойства векторов линейного пространства.

27. Линейная комбинация системы векторов. Линейно зависимая и линейно независимая системы векторов, свойства.

28. Переход к новому базису. Матрица перехода от базиса к базису.

29. Линейный оператор и его свойства. Образ и прообраз. Матрица линейного преобразования в базисе.

30. Линейный оператор и его свойства. Сумма двух линейных операторов. Произведение линейного оператора на число.

31. Собственные значения (собственные числа) и собственные векторы линейного оператора. Характеристическое уравнение и характеристический многочлен оператора.

32. Основные свойства собственных чисел.

33. Квадратичные формы.