Интегрирование функции двух переменных

Двойной интеграл введем аналогично определению геометрического смысла определенного интеграла функции одного переменного: если функция непрерывна и неотрицательна в области , то двойным интегралом называется объем прямого цилиндрического тела (цилиндроида – см. рисунок), построенного на области как на основании и ограниченного сверху поверхностью .

Заметим, что неопределенные двойные интегралы на практике не встречаются, поэтому не будем обсуждать непростое понятие первообразной, которая должна учитывать частные производные. Свойства же двойного интеграла те же, что и у однократного.

Интегрирование функции двух переменных значительно более трудная и арифметически громоздкая задача по сравнению с задачей для одной переменной. Рассмотрим наиболее распространенную на практике методику вычисления двойного интеграла сведением к повторному интегрированию.

В этой методике ключевым моментом является область интегрирования . Если эта область непрерывна (см. рисунок) и ее границы могут быть четко определены, то для непрерывной в этой области функции справедлива формула

Таким образом, двойной интеграл сводится к последовательному вычислению двух однократных определенных интегралов ( повторных интегралов ). При этом внутренний интеграл имеет функциональные (или числовые) пределы интегрирования, а внешний – всегда числовые. Внутренний интеграл (по ) вычисляется в предположении, что х – постоянная величина (полная аналогия с вычислением частных производных). Расчет производится с помощью двукратного применения обычной формулы Ньютона – Лейбница.

Заметим, что область интегрирования может быть и бесконечной в одном или в обоих направлениях осей координат. Тогда, при непрерывности функции , имеем несобственные двойные интегралы первого рода, которые, очевидно, сводятся к несобственным повторным интегралам.

Наиболее простым будет случай , где с и d – константы, т.е. прямоугольник . Тогда

Для практического вычисления двойного интеграла рекомендуется следующая схема:

1. Сделать эскиз области интегрирования , определить все функциональные и числовые границы;

2. С помощью формулы Ньютона – Лейбница вычислить внутренний интеграл (или - для прямоугольника). Ответом, как правило, будет некоторая функция одного аргумента ;

3. С помощью формулы Ньютона – Лейбница вычислить внешний интеграл .

Если область интегрирования имеет сложное очертание, то рекомендуется разбить ее на сумму простых подобластей, например, . Тогда искомый интеграл будет алгебраической суммой интегралов по подобластям, т.е.

В заключение отметим, что двойной интеграл часто используется для вычисления площади плоских фигур. Формула для вычисления площади имеет вид

.

Литература

1. Баврин И.И. Высшая математика: учебник для вузов. М.: Владос, 2003.

2. Бугров Я.С. Высшая математика: учебник для вузов. – М.: Дрофа,2003.

3. Виленкин И.В. Высшая математика для студентов экономических, технических, естественно - научных специальностей вузов: учебник для вузов. – Ростов – на Дону: Феникс, 2004.

4. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: Астрель: АСТ, 2005.

5. Высшая математика для экономистов. Под ред. Кремера Н.Ш. –М.: ЮНИТИ, 2002.

6. Ильин В.А. Высшая математика: учебник для вузов. М.: Проспект, 2005.