2015-10-22
1306
Так как частные производные 
и 
являются новыми функциями двух переменных, то можно найти также и их следующие частные производные, которые будут частными производными второго порядка т.е.
и 
.
Здесь логика вычислений очевидна. Однако обратим внимание на то, что производную можно было бы дальше дифференцировать не по своему аргументу х, а по аргументу у. Точно так же можно было бы далее дифференцировать по аргументу х. Т.е. получить производные
и 
.
Такие производные называются смешанными частными производными второго порядка. В теории функции одного переменного ничего подобного нет.
Рассмотрим производные высших порядков на примере функции 
. Вычислим первые производные:
, аналогично 
.
Вторые частные производные:
, аналогично 
.
А теперь получим смешанные производные:
, аналогично 
.
Совпадение двух последних результатов не случайно – мы попутно доказали важную теорему: если частные производные второго порядка непрерывны в точке 
, то в этой точке вторые смешанные производныеравны между собой и не зависят от способа их вычисления, т.е.
.
Для вычисления второй смешанной производной можно использовать любой из этих двух способов. Отметим, что производные порядка выше второго, а также дифференциалы высших порядков редко встречаются в прикладных задачах, поэтому здесь не рассматриваются.
