Частные производные и дифференциалы

Дадим аргументу х приращение , аргументу у — приращение Тогда функция z получит наращенное значение . Величина называется полным приращением функции в точке (х; у). Если задать только приращение аргумента х или только приращение аргумента у, то получим частные приращения функции или .

Заметим, что полное приращение функции, чаще всего, не равно сумме частных, т.е. .

После определения частных приращений понятие частной производной вводится точно так же, как и для функции одного переменного: частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению данной независимой переменной при стремлении последнего к нулю.

Обозначения: и аналогично – по у. Обычно используются все эти обозначения. Таким образом, для функции z=f(x, у) по определению:

Геометрический смысл частных производных функции z=f(x, у) в точке менее нагляден, чем для функции одного аргумента, но определяется точно так же. Если в данной точке поверхности провести две касательные в направлении осей х и у, то тангенсы углов наклона этих касательных ( угловые коэффициенты касательных) по отношению к соответствующим осям и являются частными производными. Аналогичен и физический смысл: частная производная является скоростью изменения функции z=f(x, у) в данной точкепо направлению оси оХ, а - по направлению оси оY.

Все теоремы и свойства для производной первого порядка функции одной переменной, изложенные ранее в теме 7, без каких-либо изменений переносятся и на частные производные. Единственным существенным дополнением, вытекающим из определения частных производных, является то, что при дифференцировании по одному аргументу, второй, в этом процессе, считается постоянным числом.

В теме 7 дифференциал функции y=f(x) определялся как главная, линейная относительно Dх, часть приращения функции, равная произведению . Аналогично, для частных производных можно определить и частные дифференциалы и . Наконец, полным дифференциалом функции двух переменных z=f(x,у) называется сумма частных дифференциалов, т.е. .