Абсолютные экстремумы функции двух переменных

Как и в случае одной переменной, функция имеет узловые, определяющие структуру графика точки. В первую очередь это точки экстремума – минимума и максимума.

Функция имеет максимум (минимум) в точке , если в любой, близкой к ней точке значения функции меньше (больше) значения .

Процедура отыскания экстремумов функции во многом подобна задаче для функции одной переменной. Сформулируем необходимое условие экстремума: если функция имеет экстремум в точке , то в этой точке ее первые частные производные равны нулю.

Таким образом, возможные точки экстремума (или стационарные точки ) определятся из системы уравнений:

.

Так же, как и в случае функции одной переменной, если в области определения первых производных имеются точки, где производные равны бесконечности (или не существуют), то их следует включить в состав стационарных точек.Необходимое условие экстремума можно переформулировать также следующим образом: в точке минимума или максимума дифференцируемой функции градиент равен нулю.

Для определения фактического наличия экстремума и его типа необходимо применить достаточное условие. Аналог первого достаточного условия экстремума (по изменению знака производных при переходе через стационарную точку) на практике используется редко, из-за громоздкости вычислений и недостаточной наглядности. В связи с этим обычно используется аналог второго достаточного условия, который формулируется следующим образом:

Пусть функция определена в некоторой окрестности стационарной точки и имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка

Здесь А, В и С – константы. Тогда:

1. если , то в точке функция имеет экстремум, причем при - максимум, при - минимум;

2. если , то в точке функция экстремума не имеет;

3. если , то в точке вопрос об экстремуме остается открытым и требуется дополнительное исследование - графическое или с применением первых частных производных (аналог первого достаточного условия).

Исследование функции двух переменных на экстремум рекомендуется проводить по следующей схеме:

1. Найти частные производные и функции .

2. Найти стационарные точки функции.

3. Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в каждой стационарной точке и с помощью достаточного условия сделать вывод о наличии экстремумов.

4. Вычислить экстремумы (экстремальные значения) функции: .

Кроме того, отметим, что, так же как и в случае функции одной переменной, если задается в ограниченной области D, можно ставить задачу об отыскании глобальных экстремумов. После определения всех локальных экстремумов по вышеизложенной схеме, необходимо вычислить значения функции на границе заданной области. Сравнение локальных экстремумов и граничных значений и позволяет найти наибольшее и наименьшее значения функции в заданной области D, т.е. глобальные экстремумы.