Задачі для самостійного розв’язання

1. Дано точки Скласти рівняння площини та знайти висоту піраміди

2. Знайти точку перетину трьох площин

Вказівка. Розв’язати систему рівнянь.

3. Побудувати площини: 1) 2) 3) 4) 5)

4. Скласти рівняння площини, яка перпендикулярна осі ОУ і проходить через точку М(-6,7,10).

5. Написати рівняння площини, яка проходить через вісь ОХ і точку М(4,-5,6).

6. Написати рівняння площини, яка паралельна осі OZ і проходить через точки М(-1,4,-8) і N(2,-3,-1).

7. Записати рівняння площини у відрізках.

8. Знайти об’єм піраміди, утвореної координатними площинами та площиною .

9. Дано площину . Необхідно знайти: 1) об’єм піраміди, обмеженої цією площиною та координатними площинами; 2) відстань до цієї площини від початку координат; 3) площу бічної грані, яка відтинається координатними площинами від заданої площини.

10. Дві грані куба лежать на площинах і .

11. Скласти рівняння геометричного місця точок, рівновіддалених від двох площин і

12. Знайти гострий кут між площинами і

13. Дано вершини піраміди А(1,-2,2), В(2,-3,-6), С(5,1,4) і . Знайти довжину висоти, яка проведена із вершини В.

14. Скласти рівняння площини, яка проходить через точки і В(1,-2,8) і перпендикулярна площині .

Відповіді: 1. 2.

4. у-7=0. 5. 6. 7.

8. 96. 9. 1) 243; 2) 6; 3) 121,5. 10. 8. 11.

12. 60°. 13. 4. 14.

Пряма в просторі

3.15. Канонічне та параметричне рівняння прямої в просторі

Аналогічна задача вже розв’язувалась для прямої на площині. Отже, необхідно скласти рівняння прямої , що проходить через дану точку паралельно напрямному вектору

Нехай, – довільна точка прямої, тоді вектори і колінеарні, а це значить, що координати їх пропорційні, тому отримуємо

– канонічні рівняння прямої. Прирівнюючи кожний з дробів (25) до параметра , запишемо параметричні рівняння прямої

Приклад. За точкою М(1,5,2) і напрямним вектором необхідно: 1) скласти канонічне рівняння прямої ; 2) побудувати цю пряму.

Розв’язання. 1) За формулою (25) запишемо канонічне рівняння прямої :

2) Розглянемо два способи побудови прямої .

Перший спосіб. В системі координат XYZ будуємо вектор і точку М(1,5,2) і проводимо через точку М пряму паралельну вектору

Другий спосіб. За формулою (26) записуємо рівняння прямої в параметричному вигляді:

При довільних значеннях t із системи знаходимо координати відповідних точок, які належать прямій . Так при t=1 знаходимо координати М₁(4,5,6). Через дві точки М і М₁ проводимо пряму (див. Мал.)

Задачі.

1. На прямій знайти точки, які знаходяться на відстані 10 одиниць від точки .

Відповідь: .

2. Точка рухається рівномірно з величиною швидкості ^м/_с в напрямку вектора від початкової точки . Знайти координати точки через с від початку руху.

Відповідь: .

Вказівка. Скористатись методикою відповідних задач, розв’язаних в 3.7.