Примеры решения задач

1. В сосуде объемом 2 м³ находится смесь 4 кг гелия и 2 кг водорода температуре 27°С. Определить давление и молярную мас­су смеси газов.

Дано: V=2 м³, m₁ = 4 кг, М₁=4^.10^-3 кг/моль, m₂=2 кг, М₂=2^.10^-3 кг/моль, Т=300 К.

Найти: Р, М.

Решение. Воспользуемся, уравнением Клапейрона—Менделеева, применив его к гелию и водороду:

p₁V =m₁RT/M₁ (1), p₂V =m₂RT/M₂ (2)

где p₁ - парциальное давление гелия; m₁ — масса гелия; M₁ — его

молярная масса; V — объем сосуда; Т — температура газа;

R = 8,31 Дж/(моль^.К)—молярная газовая постоянная; р₂ —парциальное водорода; m₂ —масса водорода; М₂ — его молярная масса. Под парциальным давлением p₁ и p₂ понимается то давление, которое производил бы газ, если бы он только один находился в сосуде. По закону Дальтона давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси: р=р₁+р₂. Из уравнений (1) и (2) выразим р₁ и р₂ и подставим в уравнение (3):

Найдем молярную массу смеси газов по формуле M=(m₁+m₂)/(v₁+v₂) (5) где v₁ и v₂ — число молей гелия и водорода соответственно. Число молей газов найдем по формулам:. v₁=m₁/M₁ (6), v₂=m₂/M₂ (7). Подставляя (6) и (7) в (5), найдем:

Подставляя числовые значения в формулы (4) и (8), получаем:

Ответ: р=2493 кПа, M=3^.10^-3 кг/моль.

2. Чему равны средние кинетические энергии поступательного и вра­щательного движения молекул, содержащихся в 2 кг водорода при температуре 400 К?

Дано: m = 2 кг, T=400 К, M=2^.10^-3 кг/моль.

Найти: <ε_пост>, <ε_вр>.

Решение. Считаем водород идеальным газом. Молекула водорода — двухатомная, связь между атомами считаем жесткой, тогда число степеней свободы молекулы водорода равно 5. В среднем на одну степень свободы приходится энергия <ε_i>=kT/2, где k — постоян­ная Больцмана; Т — термодинамическая температура. Поступатель­ному движению приписывается три (i=3), а вращательному две (i=2) степени свободы. Тогда энергия одной молекулы

<ε_пост> = 3/2кТ, <ε_вр> = 2/2 kТ.

Число молекул, содержащихся в массе газа, N=vN_A =(m/M)N_A где v —число молей; N_А — постоянная Авогадро. Тогда средняя ки­нетическая энергия поступательного движения молекул водорода будет

<ε_пост> =(m/M)N_A ^.3/2 kT = 3/2 (m/M)RT, (1)

где R=kN_А —молярная газовая постоянная.

Средняя кинетическая энергия вращательного движения моле­кул водорода

<ε_вр> = (m/M) RT. (2)

Подставляя числовые значения в формулы (1) и (2), имеем

<ε_пост>=

<ε_вр>=

Ответ: <ε_пост> = 4986 кДж, <ε_вр>=2324 кДж.

3. Определить среднюю длину свободного пробега молекул и число соударений за 1 с, происходящих между всеми молекулами кисло­рода, находящегося в сосуде емкостью 2 л при температуре 27° С и давлении 100 кПа.

Дано: V = 2л=2^.10^{-3 м3}, M=32^.10^-3 кг/моль, Т=300 К, p = 100 кПа=10⁵ Па, в=2,9^.10^{-10 м.}

Найти: <λ>,Z.

Решение. Средняя длина свободного пробега молекул кислорода вычисляется по формуле < λ > = l / , (1) где d — эффективный диаметр молекулы кислорода; n — число молекул в единице объема, которое можно определить из уравнения p=nkT, откуда n=p/(kT), (2) где k — постоянная Больцмана. Подставляя (2) в (1), имеем

< λ > = kT/() (3)

Число соударений Z, происходящих между всеми молекулами за 1 с равно

Z = ½<Z> N (4)

где N - число молекул кислорода в сосуде объемом 2^.10^{-3 м3};

<Z> - среднее число соударений одной молекулы за 1 с. Число молекул в сосуде N=nV. (5). Среднее число соударений молекулы за 1 с равно <Z> = <v>/< λ >, (6) где <v> — средняя арифметическая скорость молекулы <v>= . (7)

Подставляя в (4) выражения (5), (6) и (7), находим

Z=

Подставляя числовые значения, получим

<λ>=

Ответ: Z=9^.10²⁸ c^-1, < λ > = 3,56^.10^-8м.

4. Определить коэффициенты диффузии и внутреннего трения азота, находящегося при температуре Т=300 К и давлении 10⁵ Па.

Дано: p_o =1,25 кг/м³, M=28^.10^-3 кг/моль, Т=300 К, р=10⁵ Па, d=3,1^.10^{-10 м.}

Найти: D, η.

Решение. Коэффициент диффузии определяется по формуле

D=1/3 <v> <λ>,

где < v > - средняя арифметическая скорость молекул, равная < v >= . (2) <λ> — средняя длина свободного пробега молекул. Для нахождения <λ> воспользуемся формулой, взятой из решения примера 3: < λ >=kT/(). (3) Подставляя (2) и (3) в выражение (1), имеем (4)

D=

Коэффициент внутреннего трения

η = 1/3<v>< λ >р, (5)

где ρ — плотность газа при температуре 300 К и давлении 10⁵ Па, Для нахождения ρ воспользуемся уравнением состояния идеального газа. Запишем его для двух состояний азота — при нормальных ус­ловиях (T_о = 273 К, р=1,01^.10⁵ Па) и условиях задачи:

p₀V₀ = (m/M)RT₀, pV = (m_lM) RT. (6)

Учитывая, что ρ_o=m/V₀, ρ = m/V, имеем ρ=ρ_орТ_о/(р_оТ), (7)

Коэффициент внутреннего трения газа может быть выражен через коэффициент диффузии [см. (1) и (5)]:

η = Dp = Dρ₀pT₀/(p₀T). (8)

Подставляя числовые значения в (4) и (8), получим

Ответ: D=4,7 ^. 10^-5 м²/с, η= 5,23 ^. 10^-3 кг/(м ^. с)..

5. Кислород массой 160 г нагревают при постоянном давлении от 320 до 340 К. Определить количество теплоты, поглощенное газом, изменение внутренней энергии и работу расширения газа.

Дано: m=160 г=16^.10^{-2 кг,Т}₁=320 К, Т₂=340 К.

Найти: Q, ∆U, А.

Решение. Количество теплоты, необходимое для нагревания газа при постоянном давлении,

Q = mc_p (Т₂ – T₁) = (m/M) С_р (Т₂ – T₁). (1)

Здесь с_р и С_р=Мс_р — удельная и молярная теплоемкости газа при постоянном давлении; М=32^.10^-3 кг/моль — молярная масса кислорода. Для всех двухатомных газов

С_р = 7/2R; С_р = 3,5^.8,31 Дж/(моль^.К) = 29 Дж/(моль^.К).

Изменение внутренней энергии газа находим по формуле

∆U =(m/М)С_v/(T₂-T₁), где C_v —молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. Для всех двухатомных газов

C_v = 5/2 R; С_v = 2,5^.8,31 Дж/(моль^.К) = 20,8 Дж/(моль^.К).

Работа расширения газа при изобарном процессе A = р∆V, где ∆V=V₂-V₁ — изменение объема газа, которое можно найти из уравнения Клапейрона-Менделеева. При изобарном процессе

pV₁ = (m/M)RT₁, (3) pV₂ = (m/M)RT₂. (4)

Почленным вычитанием выражения (4) из (3) находим

p(V₂-V₁) = (m/M)R(T₂-T₁),

следовательно,

A = (m/M)R(T₂-T₁) (5)

Подставляя числовые значения в формулы (1), (2) и (5), получаем:

Ответ: Q=2900 Дж, ∆U = 2080 Дж, A=840 Дж.

6. Объем аргона, находящегося при давлении 80 кПа, увеличился от 1 до 2 л. На сколько изменится внутренняя энергия газа, если расширение производилось: а) изобарно; б) адиабатно.

Дано: V₁= 10^-3 м³, V₂=2^.10^{-3 м3}, p=0,8^.10⁵ Па, М=40^.10^-3 кг/моль, i = 3.

Найти ∆U.

Решение. Применим первый закон термодинамики. Согласно этому закону количество теплоты Q, переданное системе, расходуется на увеличение внутренней энергий ∆U и на внешнюю механическую работу A: Q=∆U+A. (1) Величину ∆U можно определить, зная массу газа m, удельную теплоемкость при постоянном объеме C_v и изменение температуры ∆T: ∆U =mc_v∆T. (2) Однако удобнее изменение внутренней энергии ∆U определять через молярную теплоемкость C_v, которая может быть выражена через число степеней свободы: Cv= C_v/M=1/2 R/M. (3) Подставляя величину C_v из формулы (3) в (2), получаем

∆U = (m/M)^. (i/2)^. R∆T. (4)

Изменение внутренней энергии зависит от характера процесса, при котором идет расширение газа. При изобарном расширении газа согласно первому закону термодинамики часть количества теплоты идет на изменение внутренней энергии ∆U, которая выражается формулой (4). Найти ∆U для аргона по формуле (4) нельзя, так как масса газа и температура в условии задачи не даны. Поэтому необходимо провести преобразование формулы (4).

Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева для начального и конечного состояний газа:

pV₁=(m/M)RT₁ и pV₂ = (m/M) RT₂,

или

p(V₂-V₁)=(m/M)R(T₂-T₁)

Подставив (5) в формулу (4), получим

∆U= (i/2)p(V₂-V₁).

Это уравнение является расчетным для определения ∆U при изобарном расширении.

При адиабатном расширении газа теплообмена с внешней сре­дой не происходит, поэтому Q=0. Уравнение (1) запишется в виде ∆U+A=0. (7) Это соотношение устанавливает, что работа рас­ширения газа может быть произведена только за счет уменьшения внутренней энергии газа (знак минус перед ∆U):

А=— ∆U. (8)

Формула работы для адиабатного процесса имеет вид

A=

где γ — показатель степени адиабаты, равный отношению теплоемкостей: γ = C_p/С_v=(i+2)/i. Для аргона — одноатомного газа (i=3) имеем γ = 1,67.

Находим изменение внутренней энергии при адиабатном про­цессе для аргона, учитывая формулы (8) и (9):

Для определения работы расширения аргона формулу (10) следует преобразовать, учитывая при этом параметры, данные в ус­ловии задачи. Применив уравнение Клапейрона—Менделеева для данного случая p₁V₁ = (m/M)RT₁, получим выражение для подсчета изменения внутренней энергии:

Подставляя числовые значения в (6) и (11), получим

при изобарном расширении

∆U=3\2^.0,8^.10⁵Па^.10^-3 м³= 121 Дж

б) при адиабатном расширении

Ответ: a) ∆U=121 Дж; б) ∆U=-44,6 Дж.

7. Температура нагревателя тепловой машины 500 К. Температура холодильника 400 К. Определить КПД тепловой машины, работающей по циклу Карно, и полную мощность машины, если нагреватель ежесекундно передает ей 1675 Дж теплоты.

Дано: Т=500 К, Т₀=400 К, Q=1675 Дж.

Найти: η, N.

Решение: КПД машины определяется по формуле:

η = (T-T₀)/T (1) или η=A/Q (2)

Из выражений (2) и (1) находим

A= η Q=(T-T₀)/T.

Произведем вычисления:

Η = (500К-400К)/500К = 0,2;

A=0,2^.1675 Дж = 335 Дж.

Эта работа совершается за 1 с, следовательно, полная мощь машины 335 Вт.

Ответ: η=0.2, N=335Вт.

8. Горячая вода некоторой массы отдает теплоту холодной воде такой же массы и температуры их становятся одинаковыми. Показать, что энтропия при этом увеличивается.

Решение: пусть температура горячей воды T₁, холодной Т₂, а температура смеси θ. Определим температуру смеси, исходя из уравнения теплового баланса

mc (T₂- θ)= mc (θ- T₂), или Т₁- θ= θ-Т₂,

откуда θ=(Т₁+Т₂)/2. (1)

Изменение энтропии, происходящее при охлаждении горячей воды,

Изменение энтропии, происходящее при нагревании холодной воды,

Изменение энтропии системы равно

или с учетом соотношения (1) имеем

так как (Т₁+Т₂)²>4T₁T₂, то ∆S>0.

9. Вычислить эффективный диаметр молекул азота, если его крити­ческая температура 126 К, критическое давление 3,4 МПа.

Дано: Т_кр = 126 К, р_кр = 3,4 ^.10⁶ Па.

Найти d.

Решение. Азот, согласно условию задачи, должен подчиняться урав­нению Ван-дер-Ваальса:

Постоянную b в уравнении Ван-дер-Ваальса с достаточной степенью точности считают равной учетверенному собственному объему 1 мо­ля газа. В 1 моле газа находится 6,02*10²³ молекул (N_A = 6,02*10²³ моль^-1), следовательно, объем одной молекулы равен

V=

Откуда

d=

Постоянная b = T_кp R /(8p_кр), тогда

d=

Ответ: d=3,1^.10^{-10 м.}