Первый учебный вопрос. Гипотезы предельных напряженных состояний (гипотезы прочности)

Предельное НС – когда в какой-либо точке начинаются пластические деформации или появляются признаки хрупкого разрушения.

При одноосном НС это достижение предела текучести для пластичного материала, а для хрупкого – предела прочности. При этом выполняется простая проверка условия

σ_max = σ₁ ≤ [σ]

Любое НС сводится к главным напряжениям. Если НС двухосное или трехосное, предельное НС может наступить даже если ни одно из главных напряжений не достигает предельных величин (например, предела текучести). Экспериментально изучать предельное состояние при различных сочетаниях σ₁, σ₂, σ₃ – нереально.

Экспериментальные данные имеются только по одноосному НС. Поэтому возникла идея перейти от произвольного НС к одноосному, например, от растяжения с кручением к простому растяжению. При этом оба НС должны быть равноопасными, т.е. иметь одинаковые коэффициенты запаса прочности.

Гипотезы прочности позволяют заменить сложное напряженное состояние равноопасным одноосным НС, возникающим при растяжении.

Эквивалентное напряжение σ_экв – это напряжение одноосного растяжения, равноопасного заданному сложному НС.

Из рисунка 1 видно, что после определения эквивалентного напряжения следует обычная проверка прочности. Можно вычислить коэффициент запаса n = σ_пред / σ_экв, или сравнить эквивалентное напряжение с допускаемым.

гипотеза

прочности

Рисунок 1 – Схема расчета на прочность с помощью гипотезы прочности

Существует несколько гипотез прочности. В каждой из них заложена какая-то идея механизма наступления предельного состояния.

Например, самая простая гипотеза состоит в том, что ответственным за наступление предельного состояния является наибольшее из главных напряжений, т.е. σ₁ = σ_экв. Эта гипотеза не подтвердилась.

Наибольшее применение имеют три гипотезы прочности.

Гипотеза максимальных касательных напряжений. По этой гипотезе два напряженных состояния равноопасны, если у них равны максимальные касательные напряжения. Пластические деформации при наступлении предела текучести происходят по площадкам сдвига, где касательные напряжения максимальны. Это послужило основанием для гипотезы. Из рисунка 2 видно, что в трехосном напряженном состоянии и одноосном максимальные касательные напряжения равны, если равны радиусы кругов на диаграмме Мора.

Рисунок 2 – Переход к эквивалентному напряжению по гипотезе

максимальных касательных напряжений

По гипотезе должно быть τ_{max 3} = τ_{max 1}. Из рисунка 2 имеем

τ_{max 3} = 0,5(σ₁ – σ₃); τ_{max 1} = 0,5σ_экв.

Следовательно, эквивалентное напряжение равно:

σ_экв = σ₁ – σ₃ (1)

Далее можно выполнить проверку на прочность

σ_экв = σ₁ – σ₃ ≤ [σ] (2)

Формула (2) записана через главные напряжения. В случае двухосного напряженного состояния (например, растяжение с кручением) производится расчет нормальных и касательных напряжений в координатах x-y. Подставляя в формулу (2) известные выражения для главных напряжений, получим

(3)

Проверка прочности по этой гипотезе носит название третья теория прочности

≤ [σ] (4)

Третья теория прочности применяется только для пластичных материалов. Ее недостаток состоит в том, что в ней не учитывается второе главное напряжение σ₂.

Широкое применение имеет энергетическая гипотеза прочности. По ней два напряженных состояния равноопасны, если они имеют одинаковую потенциальную энергию формоизменения.

Выражение для эквивалентного напряжения и проверка прочности осуществляются по формуле

(5)

Проверка прочности по данной гипотезе носит название четвертая теория прочности. Она учитывает все три главные напряжения, дает хорошие результаты и также применима только для пластичных материалов. Если известны не главные напряжения, а нормальные и касательные в обычных координатах, проверка прочности выполняется по формуле

(6)

Гипотеза прочности Мора применяется для пластичных и хрупких материалов. Она учитывает различие их характеристик прочности. Условие прочности имеет вид

(7)

где k = 1 для пластичных материалов и для хрупких материалов. Если известны касательные и нормальные напряжения в обычной системе координат, применяется формула (8). В случае пластичного материала она переходит в формулу, соответствующую третьей теории прочности.

(8)