Задачу вычисления расстояния от точки до прямой можно решить, используя уже полученные знания.
Пусть дана точка М(-1;1) и прямая m: 3х-4у+12=0. (Рис). Найти расстояние от точки М до прямой m. Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра MN, опущенного из точки М на прямую m В таком случае необходимо:
1. Записать уравнение прямой MN, проходящей через точку М перпендикулярно m. (Это будет прямая 4х+3у+1=0. Убедитесь в этом.)
2. Найти координаты точки пересечения прямых MN и m. Для этого необходимо решить систему уравнений
. (Имеем для точки N координаты . Найдите их.)
3. Найти расстояние между точками М и N.(Расстояние между точками М и N
|MN|=1. Вычислите и убедитесь)
Эту же задачу можно решить, используя формулу вычисления расстояния d от точки М0(х0; у0) до прямой Ах+Ву+С=0, которая имеет вид: . Для нашей задачи мы получим: .
Задача 1 Составить уравнение прямой, проходящей через точку (1,3) перпендикулярно прямой
1 способ. Разрешив уравнение прямой относительно y ,
находим . Используя условие перпендикулярности прямых (), находим . Искомое уравнение: . Окончательно получаем:
|
|
2 способ. Используя условие перпендикулярности прямых
(), уравнение можно записать в виде: . Подставляя координаты данной точки, найдём значение С:
. . Отсюда искомое уравнение:
3 способ. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно прямой имеет вид:
. Поэтому имеем: .
Получаем искомое уравнение:
4 способ. Вектор перпендикулярен прямой .
Следовательно, для искомой он является направляющим. Воспользуемся каноническим уравнением: .
Задача 2 Составить уравнение биссектрисы углов между прямыми:
.
1 способ.
.
2 способ
.
+
.