Расстояние от точки до прямой

Задачу вычисления расстояния от точки до прямой можно решить, используя уже полученные знания.

Пусть дана точка М(-1;1) и прямая m: 3х-4у+12=0. (Рис). Найти расстояние от точки М до прямой m. Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра MN, опущенного из точки М на прямую m В таком случае необходимо:

1. Записать уравнение прямой MN, проходящей через точку М перпендикулярно m. (Это будет прямая 4х+3у+1=0. Убедитесь в этом.)

2. Найти координаты точки пересечения прямых MN и m. Для этого необходимо решить систему уравнений

. (Имеем для точки N координаты . Найдите их.)

3. Найти расстояние между точками М и N.(Расстояние между точками М и N

|MN|=1. Вычислите и убедитесь)

Эту же задачу можно решить, используя формулу вычисления расстояния d от точки М₀(х₀; у₀) до прямой Ах+Ву+С=0, которая имеет вид: . Для нашей задачи мы получим: .

Задача 1 Составить уравнение прямой, проходящей через точку (1,3) перпендикулярно прямой

1 способ. Разрешив уравнение прямой относительно y ,

находим . Используя условие перпендикулярности прямых (), находим . Искомое уравнение: . Окончательно получаем:

2 способ. Используя условие перпендикулярности прямых

(), уравнение можно записать в виде: . Подставляя координаты данной точки, найдём значение С:

. . Отсюда искомое уравнение:

3 способ. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно прямой имеет вид:

. Поэтому имеем: .

Получаем искомое уравнение:

4 способ. Вектор перпендикулярен прямой .

Следовательно, для искомой он является направляющим. Воспользуемся каноническим уравнением: .

Задача 2 Составить уравнение биссектрисы углов между прямыми:

.

1 способ.

.

2 способ

.

+

.