Уравнение прямой по двум точкам, точке и направляющему вектору

Положение прямой на плоскости определяется однозначно, если заданы две её точки. Пусть в некоторой системе координат данные точки М₁ и М₂ имеют координаты: М ₁(х₁,у₁) и М₂ (х ₂,у₂). Запишем уравнение прямой М ₁М _2.

Рис 2

Обозначим текущую точку прямой через М, а её координаты (х,у)

Понятно, что вектор – один из направляющих векторов. Точка М(х,у) плоскости лежит на прямой М₁М₂ тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарные. Воспользовавшись условием коллинеарности векторов (х₂-х₁,у₂-у₁) и (х-х₁,у-у₁), получим уравнение прямой, проходящей через две точки:

(1)

Вектор - один из направляющих векторов. Обозначив его координаты х₂-х₁₌а₁, у₂-у₁₌а₂, уравнение (1) перепишем в виде:

(2)

Это уравнение прямой, определённой точкой М ₁(х₁,у₁) и направляющим вектором (а₁, а₂,). Его называют также каноническим уравнением прямой на плоскости.

Обозначив через t каждую из дробей в левой и правой частях уравнения (3) (t-числовой параметр) отканонического уравнения можно перейти к следующему уравнению:

(3)

Это параметрические уравнения прямой на плоскости.