Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнение вида

Ах+Ву+C=0 (А² +В² 0) (5)

называется общим уравнением прямой на плоскости Оху.

Геометрический смысл коэффициентов

Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Угол между прямыми.

Две прямые на плоскости могут: пересекаться, совпадать либо быть параллельными. Рассмотрим случай, когда прямые пересекаются.

Рис.2

Пусть прямые заданы уравнениями: у=к₁х+в₁ и у=к₂ х+в_2.

Очевидно, что угол между прямыми определяется не однозначно (с точностью до слагаемого, кратного ). Значение угла всегда можно выбрать так, чтобы оно было неотрицательно и меньше . Обозначим углы наклона прямых к оси Ох соответственно через ₁и ₂, а угол между прямыми - . Тогда ₂= ₁+ , откуда = ₂- ₁ и

tg =tg( ₂- ₁)= . Т.к. tg ₁= к₁ и. tg ₂= к_2, получим:

Замечание. Порядок, в котором рассматриваются прямые, можно выбирать произвольно. Он может повлиять на знак тангенса угла. Но т.к. мы выбираем острый угол, то и значение тангенса необходимо брать только положительное. Поэтому в окончательной формуле необходимо ввести знак модуля:

. ()

Мы получили формулу для вычисления угла между двумя прямыми.

Если прямые параллельны, то угол = 0, а значит и tg =0 и, следовательно, k₁= k₂.

Итак, Для параллельности двух прямых необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты были равны.

Пусть прямые перпендикулярны, тогда можно считать, что ₂- ₁= . Отсюда ₂= ₁+ . И tg=tg ( ₁+ )=ctg ₁= или

tg ₁ tg ₂=-1.

Получаем условие перпендикулярности двух прямых: k₁ k₂=-1.

С другой стороны угол между двумя прямыми L₁и L₂-это наименьший из углов между их направляющими векторами и (Рис. 3).

Обозначим координаты направляющих векторов и соответственно (l_1, m₁) и (l₂,m₂). Условием параллельности прямых L₁и L₂с направляющими векторами и является условие коллинеарности направляющих векторов (), а условием перпендикулярности прямых - условие ортогональности направляющих векторов (). Переходя к координатам направляющих векторов прямых, заданных общими уравнениями