Непосредственное интегрирование

1. Основные формулы интегрирования. Функция F(x) называется первообразной для функции ƒ(x) в промежутке a≤x≤b, если в любой точке этого промежутка ее производная равнаƒ(x):

a≤x≤b.

Отыскание первообразной функции по заданной ее производной f(x)dxесть действие, обратное дифференцированию, – интегрирование.

Совокупность первообразных для функции f(x) или для дифференциала f(x)dxназывается неопределенным интегралом и обозначается символом ∫f(x)dx. Таким образом,

если

Здесь f(x)- подынтегральная функция; f(x)dx– подынтегральное выражение; С – произвольная постоянная.

Приведем основные свойства неопределенного интеграла.

1­­⁰. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:

∫dF(x)=F(x)+C

2⁰. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

,

3⁰. Неопределенный интеграл алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов этих функций:

4⁰. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак неопределенного интеграла:

5⁰. Если u=φ(x) – любая известная функция, имеющая непрерывную производную, то: