Интегрирование методом замены переменной

Сущность интегрирования методом замены переменной (способом подстановки) заключается в преобразовании интеграла ∫f(x)dx в интеграл ∫ F(u)du, который легко вычисляется по какой-либо из основных формул интегрирования.

Для нахождения интеграла ∫f(x)dx заменяем переменную х новой переменной u с помощью подстановки x=φ(u). Дифференцируя это равенство, получим dx=φ ′ (u)du. Подставляя в подынтегральное выражение вместо x и dx их значения, выраженные через u и du, имеем:

После того как интеграл относительно новой переменной u будет найден, с помощью подстановки u=ψ(x) он приводится к переменной х.

Пример. Найти следующие интегралы:

1) ∫(3 х +2)⁵ dx; 2)∫(2 x ³+1)⁴ x ² dx;

3) ; 4) .

1) введем подстановку 3 х +2= u. Дифференцируя, имеем 3 dx=du, откуда dx= (1/3) du. Подставив в данный интеграл вместо 3 х +2 и dx их выражения, получим

Заменив u его выражением через х, находим

Проверка:

2) Положим 2 х³+ 1= u, откуда 6 x²dx=du, x²dx= (1/6) du. Таким образом,

3) Пологая x ²+1= u, имеем 2 xdx=du,xdx= (1/2) du. Значит,

4) Положим 5х³ +1= u, откуда 15x²dx = du,x ² dx= (1/15) du. Поэтому