Пусть функция f(x) определена на отрезке a≤x≤b. Разобьем этот отрезок на n частей точками a<x0<x1<x2<…<xn=b, выберем на каждом элементарном отрезке xk-1≤x≤xk произвольную точку ζkи обозначим через ∆ xk длину каждого такого отрезка. Интегральной суммой для функции f(x) на отрезке a≤x≤b называется сумма вида
Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке a≤x≤b называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю:
Для любой функции f(x), непрерывной на отрезке a≤x≤b, всегда существует определенный интеграл
Для вычисления определенного интеграла от функции f(x) в том случае, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл F(x), служит формула Ньютона – Лейбница:
Пример: вычислить следующие интегралы:
1) ; 2) ; 3)
По формуле Ньютона – Лейбница получаем:
1) ;
2) ;
3)
.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛОВ
1)Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Оx, прямыми x = -1, у = 2 и параболой у = 9 - .
|
|
Построим график функции у = 9 - и изобразим данную трапецию
Искомая площадь S равна интегралу
.
По формуле Ньютона – Лейбница находим
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Комплексными числами называют числа вида a+bi, где aи b– действительные числа, а число i, определяемое равенством , называется мнимой единицей, если для этих чисел понятия равенства и действия сложения и умножения определены следующим образом:
1) Два комплексных числа называются равными, если ;
2) Суммой двух комплексных чисел называется комплексное число ;
3) Произведением двух комплексных чисел называется комплексное число .
ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ, ЗАДАННЫМИ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ.
Над комплексными числами производится такие же действия, как и над действительными числами. Действия сложения и умножения даны в определении комплексного числа.
Рассматривая вычитание и деление комплексных чисел как действия, обратные соответственно сложению и умножению, получаем правила вычитания и деления комплексных чисел:
Выполнить действия: 1) (4+2i)+(1+5i); 2) (3 + 5i) – (6 + 3i).
1) По правилу сложения комплексных чисел получим
(4 + 2i) + (1 + 5i) = (4 + 1) + (2 + 5)i = 5 + 7i.
2) По правилу вычитания комплексных чисел получим
(3 + 5i) – (6 + 3i) = (3 - 6) + (5 - 3)i = - 3 + 2i.
Сложение (вычитание) комплексных чисел сводится к сложению (вычитанию) векторов, изображающих эти числа.