Непрерывность функции в точке

Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х=х₀, если выполнены условия:

1) функция определена в точке х=х₀ и в некоторой окрестности содержащей эту точку;

2) функция имеет предел в этой точке, то есть

(существуют и равны между собой односторонние пределы);

3) предел функции равен значению функции в этой точке:

.

Если нарушается хотя бы одно из этих условий, тогда х₀ – точка разрыва функции.

Если оба односторонних предела существуют и являются конечными числами, не выполнено третье условие, то х₀ – точка разрыва первого рода. Все остальные точки разрыва – второго рода.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Производная

Производной функции y=f(x) точке х₀ называется предел отношения приращения функции Δy в этой точке к вызвавшему его приращению аргумента Δх при произвольном стремлении Δх к нулю, то есть:

.

Выясним геометрический смысл производной.

Напомним, что касательная есть прямая, занимающая предельное положение секущей.

, где -- угол наклона касательной к оси ОХ.

При Δх →0, точка М→М₀, секущая приближается к своему предельному положению – к касательной, то есть

.

Тогда , то есть производная в точке х₀ численно равна тангенсу угла касательной к графику кривой y=f(x) в точке с абсциссой х₀.

Для сложной функции справедливы формулы:

Примеры (см.задание V)

1)

2) ;

;

3)

.