Функции нескольких переменных

На практике часто встречаемся с величинами, значения которых зависят от нескольких величин, изменяющихся независимо друг от друга. Рассмотрим простейший случай, когда таких независимых переменных две.

Пусть М – некоторое множество пар действительных чисел. Функцией двух переменных называется правило (закон), по которому каждой паре чисел ставится в соответствие единственное число , при условии, что каждое соответствует хотя бы одной паре .

x,y – независимые переменные;

М – область определения;

Z – область значений;

Так как каждой паре соответствует единственная точка P(x, y) и обратно, то функцию двух переменных можно рассматривать как функцию точки Р.

Если функция двух переменных задана с помощью аналитического выражения (формулы) без каких-либо дополнительных условий относительно области определения, то областью определения принято считать множество таких точек плоскости Оxy (пар ), для которых это аналитическое выражение имеет смысл и дает действительное значение функции.

Пример: функция определена для всех точек плоскости Оxy, кроме точек прямой x-y=0.

Частные производные

Рассмотрим функцию двух переменных . Зафиксируем одну из переменных, например, пусть . Тогда -- функция одной переменной х.

-- частное приращение функции по переменной х.

Аналогично, если зафиксируем х=х₀, то

-- частное приращение функции по переменной y.

Если существуют конечные пределы, то:

называется частной производной по х (или частной производной первого порядка);

называется частной производной по y.

Выводы:

1. Частная производная функции двух переменных по одному из ее аргументов равна пределу отношения частного приращения функции к вызвавшему это приращение аргументу, когда приращение аргумента стремится к нулю.

2. Частные производные в точке (x_0,y₀) – это числа, зависящие от координат точки, в которой вычисляются, то есть в общем случае это функция двух переменных.

3. Частная производная определяется как производная функции одной переменной (другую переменную фиксировали), поэтому для частных производных справедливы все правила и формулы дифференцирования функции одной переменной. Следует помнить, что при нахождении частной производной какому-либо аргументу, все аргументы считаются постоянными.

Примеры

1) ;