Непрерывная случайная величина

Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) непрерывна и имеет непрерывную производную везде, кроме, быть может, конечного числа точек. Из определения следует, что непрерывная случайная величина имеет непрерывный спектр (если случайная величина имеет непрерывный спектр, то из этого не следует, что она непрерывна). Если функция распределения F(x) на некоторых участках непрерывна, а в отдельных точках имеет разрывы, то случайная величина называется смешанной.

Плотностью распределения (или плотностью вероятности) непрерывной случайной величины X называется функция f(x) равная F’(x).

Отсюда следует, что

т.е. f(x) является законом распределения непрерывной случайной величины X.

Свойства f(x):

• f(x)≥ 0, т.к. F(x)- неубывающая функция,

•

• Р( α≤ X< β )=P( α≤ X ≤β )=Р( α <X ≤β )=Р( α <x< β )= .

Пример 11. Плотность вероятности непрерывной случайной величины X

Найти

• значение параметра a;

• функцию распределения F(x);

• вероятность того, что в четырех независимых испытаниях случайная величина X хотя бы один раз попадет в промежуток (0;3).

Решение.

• Из условия нормировки следует

, откуда . Итак

Если x из (-∞;2], то F(x)= =0;

если x из (2;4], то F(x)= ;

если xиз (4;+ ∞), F(x)= .

Следовательно,

• Р(0<X<3)= F(3)-F(0)=