Поиск чисел с заданным количеством делителей

АРИФМЕТИКА

Арифметика – царица математики, и подходящие задачи здесь найдёт для себя каждый – от первоклассника до академика.

Замечательные числа

Назовем натуральное число «замечательным», если оно самое маленькое среди всех натуральных чисел с такой же суммой цифр. Например, число 1 замечательное, потому что оно самое маленькое из чисел 1, 10, 100, 1000 и так далее. 1 – это первое замечательное число. Найдите второе замечательное число. Опишите все числа, у которых сумма цифр такая же. То же для третьего, десятого, 2010-го замечательного числа.

Найдите самое большое двузначное замечательное число. Какой у него номер?

Прямоугольники с заданной площадью

На клетчатой бумаге нарисуйте все прямоугольники, у которых площадь равна 24 клеткам. (Стороны должны идти по границам клеток.) Сколько получится таких прямоугольников?

Для каких площадей бывает только один прямоугольник? Для каких – два разных прямоугольника? Три разных прямоугольника? Как зависит количество вариантов от площади?

Найдите из всех прямоугольников с одинаковой площадью тот, у которого периметр наименьший.

Разложение числа

Число 15 можно тремя способами представить в виде суммы последовательных натуральных чисел: 15 = 7 + 8 = 4 + 5 + 6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5. А сколько таких способов для числа 115? Как найти количество способов для произвольного числа?

Суперкомпьютер

Суперкомпьютер умеет выполнять только одну операцию- операцию смешивания двух чисел: из чисел m, n компьютер получает число (m+n) /2. Если m+n – нечетное, то компьютер зависает. Все полученные числа хранятся в памяти. Пусть нам даны три числа, одно из которых ноль, а два другие натуральные и не равны друг другу. Для каких чисел m и n на суперкомпьютере можно получить единицу?

Диагонали прямоугольников

На листе бумаги в клеточку обвели прямоугольник размером 199 х 991 клеток. Через сколько узлов (т.е. вершин клеточек) проходит диагональ? Сколько клеток пересекает диагональ этого прямоугольника? Попробуйте дать ответ для произвольного размера прямоугольника – размером M x N клеток.

Примечание. Диагональ пересекает клетку, если она заходит «внутрь» этой клетки, а не просто проходит через вершину.

Задача о размене

Какие суммы можно уплатить монетами по 3 и 5 рублей? Обобщение: какие числа выражаются комбинацией ax+by, где a и b – данные натуральные числа, x и y – произвольные целые неотрицательные числа.

7. Скл а дные квадраты

Скл а дные числа – это числа, квадрат которых оканчивается на это же число. Например:

5²=2 5; 6²=3 6; 25² = 6 25.

«Пятью пять – двадцать пять», «шестью шесть – тридцать шесть».

Найдите как можно больше складных чисел; найдите способ нахождения всех таких чисел.

Поиск чисел с заданным количеством делителей

Есть только одно число, имеющее ровно один делитель, - это единица. Ровно два делителя имеют все простые числа. Ровно три делителя имеют, например, числа 4 и 9, являющиеся квадратами простых чисел. Все ли числа, имеющие ровно три делителя, обладают этим свойством? Каким может быть вид числа, имеющего ровно 4 делителя? 5 делителей? Для данного натурального числа N опишите все натуральные числа, имеющие ровно N делителей.

Разложения дробей

, , , …

Для числа 1/7 разложение в десятичную дробь периодично и состоит из шести цифр, а для 2/7, 3/7, …, 6/7 — из тех же шести цифр в другом порядке (проверьте!). А вот для числа 1/13 и 2/13 наборы цифр разные. Исследуйте разложения этих чисел и чисел вида 1/p, 2/p, …, (p-1)/p, для p = 17, 19, 41, 47 и другим простым числам, и разберитесь, какие бывают циклы.