Контрольная работа №2

(только для студентов заочной формы, со сроком обучения 5 лет)

Вариант 1

Задание №1. Исследовать функцию на непрерывность. Найти точки разрыва и определить их тип. Сделать чертёж.

Задание №2. Найти производные функций:.

а) , б) , в) .

Задание №3. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя.

Задание №4. Записать уравнение касательной и нормали к графику функции , в точке, где касательная параллельна прямой . Сделать чертёж.

Задание №5. Провести полное исследование функции и построить её график.

Задание №6. Найти неопределённые интегралы. Правильность полученных результатов проверить дифференцированием.

а) , б) , в) .

Задание №7. Найти определённые интегралы:

а) , б) .

Задание №8. Найти несобственный интеграл .

Задание №9. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертёж.

Вариант 2

Задание №1. Исследовать функцию на непрерывность. Найти точки разрыва и определить их тип. Сделать чертёж.

Задание №2. Найти производные функций:

а) , б) , в) .

Задание №3. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя.

Задание №4. Составить уравнения касательных к кривой , перпендикулярных прямой, проходящей через точки (0;-1) и (-1;4). Сделать чертёж.

Задание №5. Провести полное исследование функции и построить её график.

а) , б) , в) .

Задание №7. Найти определённые интегралы:

а) , б) .

Задание №8. Найти несобственный интеграл .

Задание №9. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертёж.

Вариант 3

Задание №1. Исследовать функцию на непрерывность. Найти точки разрыва и определить их тип. Сделать чертёж.

Задание №2. Найти производные функций:

а) , б) , в) .

Задание №3 Вычислить предел с помощью правила Лопиталя.

Задание №4.

Пользуясь понятием дифференциала, найти приближённое значение .

Задание №5. Провести полное исследование функции и построить её график: .

а) , б) , в) .

Задание №7. Найти определённые интегралы:

а) , б) .

Задание №8. Найти несобственный интеграл .

Задание №9. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертёж.

Вариант 4

Задание №1. Исследовать функцию на непрерывность. Найти точки разрыва и определить их тип. Сделать чертёж.

Задание №2. Найти производные функций:

а) , б) , в) .

Задание №3. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя.

Задание №4. Выяснить, в каких точках касательные к графику функции образуют с осью Ох угол 135 . Составить уравнение этих касательных. Сделать чертёж.

Задание №5. Провести полное исследование функции и построить её график:

а) , б) , в) .

Задание №7. Найти определённые интегралы:

а) , б) .

Задание №8. Найти несобственный интеграл .

Задание №9. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертёж.

Вариант 5

Задание №1. Исследовать функцию на непрерывность. Найти точки разрыва и определить их тип. Сделать чертёж.

Задание №2. Найти производные функций:

а) , б) , в)

Задание №3. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя.

Задание №4. Составить уравнение касательной к кривой , которая перпендикулярна прямой . Сделать чертёж.

Задание №5 Провести полное исследование функции и построить её график:

а) , б) , в) .

Задание №7. Найти определённые интегралы:

а) , б) .

Задание №8. Найти несобственный интеграл .

Задание №9. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертёж.

Вариант 6

Задание №1. Исследовать функцию на непрерывность. Найти точки разрыва и определить их тип. Сделать чертёж.

Задание №2. Найти производные функций:

а) , б) , в)

Задание №3. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя.

Задание №5. Провести полное исследование функции и построить её график:

а) , б) , в) .

Задание №7. Найти определённые интегралы:

а) , б) .

Задание №8. Найти несобственный интеграл .

Задание №9. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертёж.

Вариант 7

Задание №1. Исследовать функцию на непрерывность. Найти точки разрыва и определить их тип. Сделать чертёж.

Задание №2. Найти производные функций:

а) , б) , в)

Задание №3. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя.

Задание №4. Пользуясь понятием дифференциала, найти приближённое значение .

Задание №5. Провести полное исследование функции и построить её график.

а) , б) , в) .

Задание №7. Найти определённые интегралы:

а) , б) .

Задание №8. Найти несобственный интеграл .

Задание №9. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертёж.

Вариант 8

Задание №1. Исследовать функцию на непрерывность. Найти точки разрыва и определить их тип. Сделать чертёж.

Задание №2. Найти производные функций:

а) , б) , в)

Задание №3. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя.

Задание №4. Составить уравнения касательных к кривым и в точках их пересечения. Доказать, что касательные перпендикулярны. Сделать

чертёж.

Задание №5. Провести полное исследование функции и построить её график:

а) , б) , в) .

Задание №7. Найти определённые интегралы:

а) , б) .

Задание №8. Найти несобственный интеграл .

Задание №9. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертёж.

Вариант 9

Задание №1. Исследовать функцию на непрерывность. Найти точки разрыва и определить их тип. Сделать чертёж.

Задание №2. Найти производные функций:

а) , б) , в)

Задание №3. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя.

Задание №4. Пользуясь понятием дифференциала, найти приближённое значение .

Задание №5. Провести полное исследование функции и построить её график:

а) , б) , в) .

Задание №7. Найти определённые интегралы:

а) , б) .

Задание №8. Найти несобственный интеграл .

Задание №9. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертёж.

Вариант 10

Задание №1. Исследовать функцию на непрерывность. Найти точки разрыва и определить их тип. Сделать чертёж.

Задание №2. Найти производные функций:

а) , б) , в)

Задание №3. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя.

Задание №5. Провести полное исследование функции и построить её график:

а) , б) , в) .

Задание №7. Найти определённые интегралы:

а) , б) .

Задание №8. Найти несобственный интеграл .

Задание №9. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертёж.

Демонстрационный вариант для контрольной работы №2

Задание №1. Исследовать функцию на непрерывность. Найти точки разрыва и определить их тип. Сделать чертёж.

Задание №2. Найти производные функций:

а) , б) , в)

Задание №3. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя.

Задание №4. Провести полное исследование функции и построить её график.

Задание №5. Пользуясь понятием дифференциала, найти приближённое значение .

а) , б) , в)

Задание №7. Найти определённые интегралы:

а) , б) .

Задание №8. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертёж.

Задание №9. Найти несобственный интеграл .

Решение демонстрационного варианта контрольной работы №2

Задача №1

Так как данная функция определена на всей числовой оси, то «подозрительными на разрыв» являются те точки, в которых изменяется аналитическое выражение функции. Т.е. точки х = -1 и х = 0. Вычислим односторонние пределы в этих точках.

Для точки х = -1 имеем

;

Односторонние пределы функции в точке х = -1 существуют, но не равны между собой. Следовательно, эта точка является точкой разрыва первого рода.

Для точки х=0 получаем

Односторонние пределы функции при равны между собой и равны значению функции в точке х=0: . Следовательно, исследуемая точка является точкой непрерывности.

Построим график данной функции:

Ответ: функция непрерывна на промежутке и на промежутке ; точка х= -1 является точкой разрыва первого рода.

Задача №2

а)

б)

в)

Ответ: а) , б) , в) .

Задача №3

Правило Лопиталя было применено 3 раза.

Ответ: 2.

Задача №4

Исследовать и построить график функции

Решение.

1. Область определения функции D(у)= .

2. Находим точки пересечения графика функции с осями координат: если х=0, то у=0; если у=0, то х=0. Таким образом, график проходит через начало координат

3. Функция не является периодической, так как не существует такого положительного числа Т, что у(х+Т)=у(х).

4. Функция является нечётной, т.к.

1) область определения симметрична относительно начала координат, 2) у(-х)= -у(х).

5. Определим асимптоты графика:

а) Вертикальные асимптоты.

Точки х= и х= - являются точками разрыва функции. Так как и , то прямая х= служит вертикальной асимптотой графика функции. Аналогично найдём односторонние пределы в точке х= - :

и , следовательно, прямая х= - также является вертикальной асимптотой графика функции.

б) горизонтальные асимптоты.

Для нахождения горизонтальной асимптоты вычислим предел функции на бесконечности:

, итак, прямая у=0 – горизонтальная асимптота.

в) Наклонные асимптоты:

у=кх+b – уравнение наклонной асимптоты

наклонной асимптоты нет (она совпадает с горизонтальной у=0).

6. Исследуем функцию на монотонность и экстремум:

;

Найдём критические точки из условий или не существует:

равенство не выполняется ни при каких х;

не существует при х= и х= - .

Итак, критические точки: х= и х= - .

Составим таблицу


+	Не существует	+	Не существует	+
	Не существует		Не существует
возрастает		возрастает		возрастает

7. Исследуем функцию на выпуклость и вогнутость, найдём точки перегиба:

Определим критические точки для второй производной:

, т.е. , откуда ;

не существует при .

Составим таблицу:


+	Не существует	_		+	Не существует	_
	Не существует				Не существует
вогнутая		выпуклая	Точка перегиба	вогнутая		выпуклая