Студопедия


Авиадвигателестроения Административное право Административное право Беларусии Алгебра Архитектура Безопасность жизнедеятельности Введение в профессию «психолог» Введение в экономику культуры Высшая математика Геология Геоморфология Гидрология и гидрометрии Гидросистемы и гидромашины История Украины Культурология Культурология Логика Маркетинг Машиностроение Медицинская психология Менеджмент Металлы и сварка Методы и средства измерений электрических величин Мировая экономика Начертательная геометрия Основы экономической теории Охрана труда Пожарная тактика Процессы и структуры мышления Профессиональная психология Психология Психология менеджмента Современные фундаментальные и прикладные исследования в приборостроении Социальная психология Социально-философская проблематика Социология Статистика Теоретические основы информатики Теория автоматического регулирования Теория вероятности Транспортное право Туроператор Уголовное право Уголовный процесс Управление современным производством Физика Физические явления Философия Холодильные установки Экология Экономика История экономики Основы экономики Экономика предприятия Экономическая история Экономическая теория Экономический анализ Развитие экономики ЕС Чрезвычайные ситуации ВКонтакте Одноклассники Мой Мир Фейсбук LiveJournal Instagram

Уравнение касательной и нормали к кривой




Из курса геометрии известно, что в прямоугольной декартовой системе координат уравнение прямой с угловым коэффициентом , проходящем через точку имеет вид:

. (1)

Поэтому, подставив в уравнение (1) , получим уравнение касательной к кривой в точке :

. (2)

Как известно, условием перпендикулярности прямых, задаваемых уравнениями с угловыми коэффициентами и , является условие . Следовательно, уравнение нормали к кривой в точке имеет вид:

. (3)

Замечание: Уравнение (3) задает нормаль к графику функции в точке , если существует отличная от нуля производная .

Если , то касательная к кривой в такой точке будет параллельна оси , а ее уравнение будет иметь вид: . Из определения же нормали следует, что нормаль к кривой в такой точке будет перпендикулярна оси , а ее уравнение имеет вид .

Если же , то касательная к кривой в такой точке параллельна оси и ее уравнение имеет вид , а нормаль параллельна оси и ее уравнение имеет вид

Примеры: Найти уравнения касательной и нормали к кривым:

в точке с абсциссой

в точке с абсциссой

в точке с абсциссой

Решение:

1) Найдем значение функции в точке с : .

Далее найдем производную этой функции: . Теперь найдем

Составим уравнение касательной, для этого подставим найденные значения в уравнение (2):

– уравнение касательной

Составим уравнение нормали, для этого подставим найденные значения в уравнение (3):

– уравнение нормали.

2) Найдем значение функции в точке с абсциссой :

.

Найдем значение производной в точке :

.

Так как , то по замечанию уравнение касательной примет вид , то есть , а уравнение нормали , то есть .

3) Найдем значение функции в точке с абсциссой

.

Теперь найдем значение производной:

,

.

Подставив найденные значения в уравнение (2) получим уравнение касательной:

– уравнение касательной.

Подставив найденное значение в уравнение (3) получим уравнение нормали:

– уравнение нормали.

Упражнения:

1) В какой точке касательная к кривой параллельна прямой .

2) В какой точке касательная к кривой перпендикулярна прямой .

3) Кривая задана уравнением . Определить углы наклона касательных к положительному направлению оси , проведенных к кривой в точках с абсциссами .

4) Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой в точке .

5) Составить уравнение касательной и нормали к кривым в данных точках с абсциссами:

а)

б)

в)

г)

д) .

6) Найти координаты точки, в которой касательная к параболе образует угол в 135о с осью .

7) Найти скорость тела, движущегося по закону .

8) Тело движется прямолинейно по закону . Найти скорость тела в моменты , и .




9) Найти скорость движения тела в момент времени , если закон движения задан формулой: .

10) Когда скорость точки, движущейся прямолинейно по закону , равна нулю?

11) Какой угол образует с осью абсцисс касательная к параболе , проведенная в точке ? Составить уравнение этой касательной.

12) Найти угол наклона касательной к кубической параболе в точках с абсциссами , и .

13) Какой угол образует с осью абсцисс касательная к кривой в точке ?





Дата добавления: 2015-05-30; просмотров: 24602; Опубликованный материал нарушает авторские права? | Защита персональных данных | ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ


Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Только сон приблежает студента к концу лекции. А чужой храп его отдаляет. 8692 - | 7447 - или читать все...

Читайте также:

  1. I Определение касательной и нормали к кривой
  2. Антинормализаторство и его виды. Языковой пуризм и его виды. Антинормализаторство и пуризм как два крайних подхода в вопросах нормализации языка.
  3. Билет № 24. Отжиг и нормализация.
  4. В общем виде мгновенная скорость реакции изображается уравнением
  5. Вдоль кривой безразличия наблюдается убывающая предельная норма замещения.
  6. Вентиляционные системы как средство нормализации параметров воздушной среды
  7. Волновые свойства частиц. Соотношение неопределенности Гейзенберга. Уравнение Шредингера.
  8. Вопрос. Факторы, определяющие равновесие на денежном рынке. Уравнение Фишера.
  9. Вращательное движение твердого тела. Уравнение движения. Угловая скорость и угловое ускорение. Векторы угловой скорости и углового ускорения.
  10. Вывести общее дифференциальное уравнение (уравнение для градиента потенциала)
  11. Вывести уравнение пьезопроводности для упругой жидкости.


 

18.206.194.83 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.


Генерация страницы за: 0.004 сек.