Площадь плоской фигуры. Пример 4. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой

Пример 4. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой .

Решение. Кривая ограничивает плоскую фигуру на плоскости , поэтому площадь фигуры можно вычислить по формуле

.

Представим на рисунке область и выберем способ счета.
Поскольку переход к явному заданию границы фигуры затруднен,
а кроме того, есть комбинация переменных , то разумно
перейти к полярным координатам Получим или – уравнение лемнискаты (см. в 7.7.1 пример 7). Используя симметрию фигуры, вычисляем площадь .

Пример 5. Вычислить площадь фигуры , ограниченной кривыми , , , при .

Решение.

.