Понятие функции нескольких переменных

Если каждой точке X = (х₁, х₂, …х_n) из множества {X} точек n–мерного пространства ставится в соответствие одно вполне определенное значение переменной величины z, то говорят, что задана функция n переменных z = f(х₁, х₂, …х_n) = f (X).

При этом переменные х₁, х₂, …х_n называют независимыми переменными или аргументами функции, z - зависимой переменной, а символ f обозначает закон соответствия. Множество {X} называют областью определения функции (это некое подмножество n-мерного пространства).

Например, функция z = 1/(х₁х₂) представляет собой функцию двух переменных. Ее аргументы – переменные х₁ и х₂, а z – зависимая переменная. Область определения – вся координатная плоскость, за исключением прямых х₁ = 0 и х₂ = 0, т.е. без осей абсцисс и ординат. Подставив в функцию любую точку из области определения, по закону соответствия получим определенное число. Например, взяв точку (2; 5), т.е. х₁ = 2, х₂ = 5, получим
z = 1/(2*5) = 0,1 (т.е. z(2; 5) = 0,1).

Функция вида z = а₁х₁ + а₂х₂ + … + а_nх_n + b, где а₁, а₂,…, а_n, b — по стоянные числа, называют линейной. Ее можно рассматривать как сумму n линейных функций от переменных х₁, х₂, …х_n. Все остальные функции называют нелинейными.

Например, функция z = 1/(х₁х₂) – нелинейная, а функция z =
= х₁ + 7х₂ - 5 – линейная.

Любой функции z = f (X) = f(х₁, х₂, …х_n) можно поставить в соответствие n функций одной переменной, если зафиксировать значения всех переменных, кроме одной.

Например, функции трех переменных z = 1/(х₁х₂х₃) можно поставить в соответствие три функции одной переменной. Если зафиксировать х₂ = а и х₃ = b то функция примет вид z = 1/(аbх₁); если зафиксировать х₁ = а и х₃ = b, то она примет вид z = 1/(аbх₂); если зафиксировать х₁ = а и х₂ = b, то она примет вид z = 1/(аbх₃). В данном случае все три функции имеют одинаковый вид. Это не всегда так. Например, если для функции двух переменных зафиксировать х₂ = а, то она примет вид z = 5х₁^а, т.е. степенной функции, а если зафиксировать х₁ = а, то она примет вид , т.е. показательной функции.

Графиком функции двух переменных z = f(x, у) называется множество точек трёхмерного пространства (х, у, z), аппликата z которых связана с абсциссой х и ординатой у функциональным соотношением
z = f (x, у). Этот график представляет собой некоторую поверхность в трехмерном пространстве (например, как на рисунке 5.3).

Можно доказать, что если функция – линейная (т.е. z = ax + by + c), то ее график представляет собой плоскость в трехмерном пространстве. Другие примеры трехмерных графиков рекомендуется изучить самостоятельно по учебнику Кремера (стр. 405-406).

Если переменных больше двух (n переменных), то график функции представляет собой множество точек (n+1)-мерного пространства, для которых координата х_n+1 вычисляется в соответствии с заданным функциональным законом. Такой график называют гиперповерхностью (для линейной функции – гиперплоскостью), и он также представляет собой научную абстракцию (изобразить его невозможно).

Рисунок 5.3 – График функции двух переменных в трехмерном пространстве

Поверхностью уровня функции n переменных называется множество точек в n–мерном пространстве, таких, что во всех этих точках значение функции одно и то же и равно С. Само число С в этом случае называется уровнем.

Обычно для одной и той же функции можно построить бесконечно много поверхностей уровня (соответствующих различным уровням).

Для функции двух переменных поверхность уровня принимает вид линии уровня.

Например, рассмотрим z = 1/(х₁х₂). Возьмем С = 10, т.е. 1/(х₁х₂) = 10. Тогда х₂ = 1/(10х₁), т.е. на плоскости линия уровня примет вид, представленный на рисунке 5.4 сплошной линией. Взяв другой уровень, например, С = 5, получим линию уровня в виде графика функции х₂ = 1/(5х₁) (на рисунке 5.4 показана пунктиром).

Рисунок 5.4 - Линии уровня функции z = 1/(х₁х₂)

Рассмотрим еще один пример. Пусть z = 2х₁ + х₂. Возьмем С = 2, т.е. 2х₁ + х₂ = 2. Тогда х₂ = 2 - 2х₁, т.е. на плоскости линия уровня примет вид прямой, представленный на рисунке 5.5 сплошной линией. Взяв другой уровень, например, С = 4, получим линию уровня в виде прямой х₂ = 4 - 2х₁ (на рисунке 5.5 показана пунктиром). Линия уровня для 2х₁ + х₂ = 3 показана на рисунке 5.5 точечной линией.

Легко убедиться, что для линейной функции двух переменных любая линия уровня будет представлять собой прямую на плоскости, причем все линии уровня будут параллельны между собой.

Рисунок 5.5 - Линии уровня функции z = 2х₁ + х₂