Дифференциал функции многих переменных

Дифференциалом функции называют сумму произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных, т.е. (n – число аргументов).

Для функции двух переменных z = f(x,y) дифференциал можно записать .

По-другому дифференциал записывается как (для двух переменных ).

Функция нескольких переменных z = f(х₁, х₂, …х_n) = f (X) называется дифференцируемой в точке X, если ее полное приращение может быть представлено в виде , где dz - дифференциал функции, - бесконечно малые величины при Δх_j ® 0.

Таким образом, дифференциал функции нескольких переменных, как и в случае одной переменной, представляет собой главную, линейную относительно приращений аргументов, часть полного приращения функции.

Можно доказать, что если частные производные функции существуют в некоторой окрестности точки и непрерывны в самой точке, то функция дифференцируема в этой точке (достаточное условие дифференцируемости функции).

Дифференциалом функции многих переменных второго порядка называют сумму произведений частных производных второго порядка этой функции на приращения соответствующих независимых переменных: (n – число аргументов).

Для функции двух переменных z = f(x,y) дифференциал второго порядка можно записать или для непрерывных вторых производных.