Непрерывность функций нескольких переменных

Для функций нескольких переменных могут быть введены понятия предела и непрерывности. Введенные ранее понятия предела и непрерывности для функции одной переменной представляют собой частный случай этих понятий для функций нескольких перменных.

Число А называется пределом функции y = f(X) = f(х₁, х₂, …х_n) при Х, стремящемся к Х⁽⁰⁾ = (х₁⁽⁰⁾, х₂⁽⁰⁾, …х_n⁽⁰⁾) (или в точке Х⁽⁰⁾), если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа e, найдется такое положительное число d (зависящее от e, т.е. d = d (e)), что для всех точек Х, отстоящих от Х⁽⁰⁾на расстояние, меньшее d, (кроме, разве что, самой точки Х⁽⁰⁾, т.е. при ) верно неравенство: |f(Х) - А| < e.

Предел функции в точке Х⁽⁰⁾обозначается или
f(X) ® А при X ® Х⁽⁰⁾или .

Итак, число А есть предел функции у = f(X) при X ® Х⁽⁰⁾, если для любого e > 0 найдется такая d-окрестность точки Х⁽⁰⁾, что для всех точек из этой окрестности значения функции f(Х) будут заключены в e-окрестности точки А на числовой оси значений функции.

Вычисление пределов функций многих переменных значительно сложнее, чем в случае функций одной переменной. Если на прямой существуют всего два направления, по которым аргумент может стремиться к предельной точке (справа и слева), то в простанствах большей размерности (даже в двумерном пространстве - на плоскости) таких направлений бесконечное много, и пределы функции по разным направлениям могут не совпадать. Однако, в некоторых случаях такие пределы вычисляются достаточно легко (пример - см. учебник Кремера стр. 407).

Функция многих переменных называется непрерывной в точке, если она определена в этой точке, имеет в ней конечный предел, и этот предел равен значению функции в этой точке, т.е. .