Краткое содержание дисциплины

N п/п	Разделы программы	Требования, предъявляе- мые к курсанту
	1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
	Трехмерное пространство. Векторы. Линейные операции над векторами. Линейные пространства. Линейно-независимые системы векторов. Базис.	понятие навыки   понятие
	Скалярное произведение векторов в R3 и его свойства. Длина вектора. Расстояние. Угол между векторами. Пространство Rn. Ортогональный базис. Разложение векторов.	навыки   понятие
	Уравнение плоскости в R3 (векторная и координатная формы). Прямая в R3 и R2 (векторная и координатная формы).	умение умение
	Линейные операторы и матрицы. Сложение, умножение на число, произведение линейных операторов и соответствующих матриц.	понятие   умение
	Определители 2-го и 3-го порядка, основные свойства. Вычисление определителей 2-го и 3-го порядков. Определители n-го порядка. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.	умение навыки понятие умение
	Векторное произведение. Основные свойства. Смешанное произведение и его свойства.	навыки навыки
	Системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Правило Крамера. Обратная матрица. Решение матричных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.	умение
	Квадратичные формы, приведение к каноническому виду. Геометрические приложения в пространстве R2 и R3.	умение навыки
	II. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
	Элементы математической логики. Взаимно-обратные и взаим- но-противоположные теоремы. необходимость и достаточность. Символика математической логики.	понятие
	Множества вещественных чисел. Числовые последовательности. Предел. Верхние и нижние грани множеств. Теорема Боль- цано-Вейерштраса.	понятие
	Существование предела монотонной ограниченной последова тельности. Число e. Натуральные логарифмы. Предел функции в точке. Предел функции в бесконечности. Свойства функций, имеющих предел.	навыки     умение
	Непрерывность функции. Непрерывность основных элементарных функций.	умение
	Бесконечно малые функции и их свойства.	умение
	Бесконечно большие функции и их свойства. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми.	умение
	Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые. Их использование при вычислении пределов.	навыки
	Свойства непрерывных в точке функции. Непрерывность суммы, произведения и частного. Предел и непрерывность сложной функции.	умение
	Односторонние пределы. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва и их классификация.	понятие умение
	Свойства функции, непрерывность на отрезке, ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений.	умение
	III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
	Производная функция, ее геометрический и механический смысл. Производная суммы, произведения и частного.	навыки
	Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций.	навыки
	Гиперболические функции, их свойства и графики. Производные гиперболических функций.	умение
	Дифференцируемость функции. Дифференциал функции. Связь дифференциала с производной. Геометрический смысл дифференциала. Линеаризация функции. Дифференциал суммы, произведения и частного. Инвариантность формы дифференциала.	навыки   понятие
	Производные и Дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. Неинвариантность формы дифференциалов порядка выше первого.	навыки   понятие
	Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, их применение. Правило Лопиталя.	понятие навыки
	Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Представление функций по формуле Тейлора. Понятие главной части функции, выделение главной части функции. Приложение формулы Тейлора. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.	понятие умение понятие   навыки
	IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ
	Условия возрастания и убывания функции. Три точки экстремума. Необходимые условия экстремума. Достаточные признаки существования экстремума. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции.	навыки
	Исследование функций на экстремум с помощью производных высшего порядка. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба. Асимптоты кривых. Общая схема построения графиков функций.	умение   навыки навыки умение
	V. ВЕКТОРНЫЕ И КОМПЛЕКСНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО
	Векторная функция скалярного аргумента. Производная, ее геометрический и механический смысл.	умение
	Параметрические уравнения кривой на плоскости и в пространстве. Винтовая линия. Функции, заданные параметрически, их дифференцирование.	понятие   навыки
	Комплексные числа. их изображение на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Операции над комплексными числами. Формула Муавра.	умение   навыки
	Комплексные функции действительного переменного, их дифференцирование.	умение
	Многочлен в комплексной области. Теорема Безу. Условия тождественности двух многочленов.	понятие
	Корни многочлена. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратные множители.	навыки
	VI. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
	Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных формул интегрирования. Непосредственное интегрирование. Интегрирование по частям и подстановкой.	понятие навыки
	Интегрирование рациональных функций путем разложения на простейшие дроби. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции. Интегрирование некоторых иррациональных выражений. Использование таблиц интегралов.	умение   умение   умение умение
	VII. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
	Определенный интеграл, как предел интегральных сумм. Основные свойства определенного интеграла.	понятие
	Производная интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница.	понятие навыки
	Вычисление определенного интеграла: интегрирование по частям и подстановкой. Приближенное вычисление определенного интеграла: формула прямоугольников, трапеций и Симпсона.	навыки   умение
	Приложение интегралов к вычислению площадей плоских фигур, длин дуг кривых, объемов тел и площадей поверхностей вращения.	умение
	Кривизна плоской кривой. Центр и круг кривизны. Эволюта и эвольвента. Кривизна пространственной кривой.	умение   понятие
	VII. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
	Функции нескольких переменных. Область определения. Предел функции. Непрерывность.	понятие
	Частные производные. Полный дифференциал и его связь с частными производными. Инвариантность формы полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала.	навыки   понятие умение понятие
	Частные производные и полные дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.	умение
	Неявные функции. Теорема существования. Дифференцирование неявных функций.	понятие умение
	Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие. Достаточные условия.	навыки
	Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Глобальные экстремумы.	умение
	IX. ОБЫКОНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
	Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Понятие об особых решениях дифференциальных уравнений. Основные классы уравнений, интегрируемых в квадратурах.	понятие     навыки
	Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Понятие о краевых задачах для дифференциальных уравнений. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка.	понятие   навыки
	Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Свойства линейного дифференциального оператора. Линейные однородные дифференциальные уравнения, свойства их решений. Линейно-зависимые и линейно-независимые системы функций. Определитель Вронского. Необходимое условие линейной зависимости системы функций. Линейные, однородные дифференциальные уравнения, условие линейной независимости решений. Фундаментальная система решений, структура общего решения. Формула Остроградского-Лиувилля.	понятие   понятие     умение     умение
	Линейные, однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Линейные, неоднородные дифференциальные уравнения. Структура общего решения. Метод Лагранжа, вариации произвольных постоянных. Линейные, однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами правой частью специального вида.	навыки   умение   навыки навыки
	X. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
	Системы дифференциальных уравнений. Нормальные системы. Задача Коши нормальной системы уравнений. Теорема существования и единственности решения задачи Коши (формулировка). Общие и частные решения. Решение нормальной системы методом исключения. Нормальные системы линейных уравнений. Запись в векторном виде. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Структура общего решения (запись в векторном виде).	понятие   умение понятие
	Решение нормальной системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Характеристический многочлен. Запись общего решения в векторном виде.	умение
	XI. НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
	Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Теория сравнения, абсолютная и условная сходимость. Признаки сходимости. Несобственный интеграл от неограниченных функций. Теоремы сравнения. Абсолютная и условная сходимость.	умение     умение
	XII. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
	Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Действия над рядами.	понятие
	Ряды с положительными членами. Признаки сходимости: теоремы сравнения, признаки Даламбера и Коши. Интегральный признак сходимости ряда. Оценка остатка ряда с помощью интегрального признака.	навыки
	Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница.	понятие   навыки
	Ряды с комплексными членами. Методы исследования на сходимость.	понятие
	XIII. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
	Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Теорема о непрерывности суммы функционального ряда. Теорема о почленном интегрировании и дифференцировании функциональных рядов.	понятие
	XIV. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
	Степенные ряды. Теорема Абеля. Круг сходимости, интервал и радиус сходимости рядов с действительными членами. Теорема о равномерной сходимости степенного ряда. Непрерывность суммы. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов.	навыки   понятие
	Ряд Тейлора. Теорема о единственности разложения функции в степенной ряд. Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора. Разложение по степеням функций. Приложение рядов к приближенным вычислениям.	понятие     навыки навыки
	XV. РЯДЫ ФУРЬЕ
	Тригонометрическая система функций. Разложение функций в ряд Фурье. Формулировка условий разложимости функций в ряд Фурье. Равномерная сходимость ряда Фурье.	умение   понятие понятие
	XVI. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
	Интеграл Фурье. Комплексная форма интеграла Фурье. Преобразование Фурье. Синус и косинус преобразования Фурье. Свойства преобразования Фурье. Приложения к решению дифференциальных уравнений.	понятие понятие   умение
	XVII. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
	Двойные и тройные интегралы, их основные свойства. Представление об интегралах любой кратности.	понятие
	Вычисление двойных и тройных интегралов последовательными интегрированиями.	умение
	Замена переменных в двойных интегралах. Полярные координаты. Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрические и сферические координаты.	умение
	Применение кратных интегралов для вычисления объемов и площадей для решения задач механики и физики.	умение
	XVIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
	Задачи, приводящие к криволинейным интегралам. Определение криволинейных интегралов 1-го и 2-го рода, их свойства. Вычисление интегралов. Геометрические и механические приложения. Связь между криволинейными интегралами 2-го и 1-го рода. Формула Грина.	понятие     умение   понятие
	Площадь поверхности. Определение поверхностных интегралов. Их свойства. Вычисление.	понятие   умение
	XIX. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
	Скалярное поле. Поверхности и линии. Уровни скалярного поля. Производная по направлению. Градиент скалярного поля. Инвариантное определение градиента.	понятие   навыки понятие
	Векторное поле. Векторные линии и их дифференциальные уравнения.	понятие
	Односторонние и двусторонние поверхности. Поток поля через поверхность. Физический смысл потока в поле скоростей жидкости. Вычисление потока. Теорема Остроградского.	понятие     умение
	Дивергенция векторного поля. Ее инвариантное определение и физический смысл. Соленоидальные поля. Вычисление дивергенции.	понятие   умение
	Линейный интеграл в векторном поле. Работа силового поля. Циркуляция векторного поля. Теорема Стокса. Ротор поля, его координатное и инвариантное определение. Физический смысл ротора в поле скоростей. Условие независимости линейного интеграла от формы пути интегрирования.	понятие   умение
	Потенциальное поле. Условие потенциальности поля. Вычисление линейного интеграла в потенциальном поле.	умение
	Оператор Гамильтона. Операции второго порядка в векторном анализе. Оператор Лапласа. Его приложение в цилиндрических и сферических координатах.	умение   понятие
	XX. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
	Уравнение колебаний струны. Решение задачи Коши методом Даламбера.	понятие
	Уравнение теплопроводности. Решение задачи Коши методом преобразования Фурье.	понятие
	Уравнение Лапласа. Решение задачи Дирихле в круге методом Фурье.	понятие
	XXI. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
	Преобразование Лапласа. Основные теоремы об оригиналах и изображениях. Формулы обращения интеграла Лапласа. Свертка функций. Интеграл Дюамеля. Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом.	понятие     умение
	XXII. ОСНОВНЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
	Элементы программирования на алгоритмическом языке.	умение
	Приближение функции методом наименьших квадратов.	умение
	Интерполяция. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Линейная интерполяция.	умение
	Решение линейных систем методом Гаусса. Схема с выбором главного элемента.	умение
	Итерационные методы решения уравнений. Понятие об итерационных методах решения систем уравнений.	умение
	Численные методы решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Метод Эйлера и его модификация. Метод Рунге-Кутта.	умение
	Понятие о методе сеток решения простейших задач математической физики.	понятие
	XXIII. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
	Аксиоматика теории вероятностей. Серии опытов со случайными подходами. Частота. Свойства частоты. Математическая схематизация случайных явлений. Пространство элементарных событий. Случайные события, операции над событиями и отношения между ними. Алгебра событий. Вероятность - аддитивная функция события. Аксиомы теории вероятностей. Вероятностные пространства. Классическое определение вероятности. Геометрические вероятности.	понятие   понятие   понятие   умение
	Определение устойчивой вероятности. Независимость событий. Вероятность произведения событий. Теорема о полной вероятности. Формула Байеса. Последовательность независимых испытаний, схема Бернулли. Предельные те6оремы Муавра- Лапласа и Пуассона.	понятие умение
	Определение случайной величины. Функция распределения случайной величины и ее свойства. Непрерывные и дискретные распределения. Примеры распределений: нормальное, пуассоновское, биномиальное, равномерное. Совместное распределение нескольких случайных величин. Функции от случайных величин. Независимость случайных величин. Распределение суммы независимых случайных величин.	понятие     умение   понятие
	Математическое ожидание, дисперсия и другие моменты случайных величин, их свойства (доказательство только для дискретных величин). Ковариация, коэффициент корреляции.	умение     умение
	Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел для последовательности независимых случайных величин. Теорема Чебышева.	понятие
	Предельные теоремы. Характеристические функции и их свойства (теоремы о взаимно однозначном и непрерывном соответствии характеристических функций и функций распределения), Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых. Теорема Ляпунова. Теорема Хинчина.	понятие
	Цепи Маркова. Определение. Вероятности перехода. Теорема о предельных вероятностях (без доказательства). Вычисление предельных вероятностей. Стационарное распределение.	понятие
	Элементы математической статистики. Выборки. Точечные оценки независимых параметров распределения по выборке, понятие состоятельности и несмещенности оценок. Понятие о доверительных интервалах и статистической проверке гипотез.	понятие     понятие
	Элементы корреляционного анализа. Основные свойства регрессии. Уравнение линейной регресии. Теснота связи и ее оценка по коэффициенту корреляции. Понятие нелинейной регрессии. Корреляционное отношение.	навыки

Вопросы для самоконтроля

Вопросы для самоконтроля студентов 1 курса

1. Матрицы. Виды матриц.
2. Линейные операции над матрицами.
3. Умножение матриц.
4. Правила вычисления определителей 2-го и 3-го порядков.
5. Свойства определителей.
6. Обратная матрица. Критерий существования А^-1.
7. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), общие понятия.
8. Формулы Крамера. Матричный метод решения СЛАУ. Метод Гаусса.
9. Ранг матрицы. Базисный минор
10. Теорема Кронекера - Капелли. Исследование СЛАУ.
11. Собственные числа и собственные векторы.
12. Квадратичные формы. Канонический вид квадратичной формы.
13. Уравнение прямой на плоскости.
14. Взаимное расположение прямых на плоскости. Угол между прямыми.
15. Вектор, длина вектора. Свободный вектор. Линейные операции над векторами.
16. Базис, разложение вектора по базису. Теорема о разложении вектора по базису.
17. Декартова система координат. Разложение вектора в декартовом базисе.
18. Скалярное произведение векторов, его свойства. Проекция вектора.
19. Координатная форма скалярного произведения.
20. Нахождение углов. Направляющие косинусы.
21. Векторное произведение, определение.
22. Свойства векторного произведения.
23. Координатная форма векторного произведения.
24. Смешанное произведение, определение. Свойство смешанного произведения.
25. Координатная форма смешанного произведения.
26. Векторное уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости.
27. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.
28. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.
29. Угол между плоскостями. Условие перпендикулярности и параллельности плоскостей.
30. Векторно-параметрическое уравнение прямой в пространстве.
31. Каноническое уравнение прямой. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Общее уравнение прямой.
32. Угол между прямыми, условие перпендикулярности прямых.
33. Угол между прямой и плоскостью.
34. Эллипс. Канонического уравнения эллипса.
35. Гипербола. Канонического уравнения гиперболы.
36. Парабола. Канонического уравнения параболы.
37. Полярная система координат.
38. Связь декартовой и полярной систем координат.
39. Поверхности 2-го порядка.
40. Предел функции в точке.
41. Односторонние пределы.
42. Основные свойства пределов.
43. Бесконечно малые и их свойства. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.
44. Сравнение бесконечно малых функций.
45. Асимптотические формулы. Примеры использования эквивалентности бесконечно малых при вычислении пределов.
46. Замечательные пределы.
47. Непрерывность функции в точке. Свойства
48. Свойства функций непрерывных на отрезке.
49. Точки разрыва функции и их классификация.
50. Производная функции. Геометрический смысл производной.
51. Правила дифференцирования суммы произведения и частного.
52. Таблица производных.
53. Дифференцируемость функции.
54. Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала.
55. Свойства дифференциала. Инвариантность формы дифференциала.
56. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Примеры.
57. Производные и дифференциалы высших порядков.
58. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей вида: , .
59. Формула Тейлора с остаточным членом Лагранжа.
60. Представление функций: , , , , по формуле Тейлора.
61. Применение формулы Тейлора в вычислительной математике.
62. Условия возрастания и убывания функции.
63. Локальный экстремум. Необходимое и достаточное условия экстремума.
64. Исследование функций на экстремум с помощью производной второго порядка.
65. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции.
66. Асимптоты графика функции.
67. Выпуклость и вогнутость графика функции, достаточное условие выпуклости.
68. Точки перегиба, достаточный признак точки перегиба.

69. Общая схема исследования функций и построение графиков.

70. Функции нескольких переменных. Область определения. График функции двух переменных.

71. Предел функции. Частные производные. Полный дифференциал, его связь с частными производными.

72. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия экстремума. Условный экстремум.

1. Комплексные числа. их изображение на плоскости.Модуль и аргумент комплексного числа.
2. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.
3. Операции над комплексными числами. Формула Муавра.
4. Комплексные функции действительного переменного, их дифференцирование.
5. Многочлен в комплексной области. Теорема Безу. Условия тождественности двух многочленов.
6. Корни многочлена. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратные множители

Вопросы для самоконтроля студентов 2 курса

1. Первообразная функция. Неопределенный интеграл, его свойства.

2. Таблица основных формул интегрирования.

3. Непосредственное интегрирование.

4. Метод подведения множителя под знак дифференциала.

5. Метод подстановки.

6. Интегрирование по частям.

7. Интегрирование функций путем разложения на простейшие дроби.

8. Интегрирование иррациональных и тригонометрических функций.

9. Определенный интеграл Геометрический и механический смысл определенного интеграла.

10. Основные свойства определенного интеграла. Теорема о среднем значении.

11. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.

12. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям.

13. Вычисление площадей плоских фигур, уравнения которых заданы в декартовых, полярных координатах, параметрически.

14. Вычисление объемов тел, площадей поверхностей вращения, работы силы, давления жидкости, координат центра тяжести.

15. Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций.

16. Двойного интеграла. Геометрический смысл, вычисление

17. Изменение порядка интегрирования в двойном интеграле.

18. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах. Якобиан.

19. Вычисление площадей плоских фигур, площадей кривых поверхностей, объемов тел, массы неоднородной пластины, статистических моментов пластины, координат центра тяжести пластины, моментов инерции пластины.

20. Тройного интеграла. Геометрический смысл, вычисление.

21. Вычисление тройных интегралов в цилиндрических и сферических координатах. Якобиан.

22. Вычисление объемов тел, массы неоднородного тела, статистических моментов тела, координат центра тяжести тела, моментов инерции тела с помощью тройных интегралов.

23. Криволинейный интеграл первого рода (по длине дуги). Свойства.

24. Вычисление интегралов по дуге АВ, если дуга задана:

а) уравнением у=у(х) на отрезке ,

в) параметрическим уравнением х=х(t), у=у(t), где t .

1. Вычисление координат центра тяжести материальной линии, масса материальной линии, моментов инерции относительно координатных осей с помощью криволинейного интеграла 1-го рода.
2. Криволинейный интеграл второго рода (по координатам). Свойства.
3. Вычисление интегралов второго рода по дуге АВ, если дуга задана:

а) уравнением у=у(х) на отрезке ,

в) параметрическим уравнением х=х(t), у=у(t), где t .

1. Формула Грина (интеграл второго рода по замкнутому контуру).
2. Поверхностный интеграл первого рода. Свойства. Вычисление.
3. Поверхностный интеграл второго рода. Свойства. Вычисление.
4. Приложения поверхностных интегралов второго рода.
5. Скалярное поле. Поверхности и линии уровня.
6. Производная по направлению. Градиент скалярного поля.
7. Векторное поле. Векторные линии.
8. Поток векторного поля через поверхность.
9. Формула Остроградского-Гаусса.
10. Дивергенция векторного поля. Источники и стоки.
11. Линейный интеграл в векторном поле. Работа силового поля. Циркуляция.
12. Ротор поля. Теорема Стокса.
13. Определение дифференциального уравнения (ДУ).
14. ДУ 1-го порядка, его геометрическое истолкование, общее решение, частное решение.
15. ДУ с разделяющимися переменными.
16. Однородные ДУ.
17. Линейные ДУ первого порядка.
18. Уравнение Бернулли.
19. ДУ в полных дифференциалах.
20. Определение ДУ п -го порядка и решение ДУ.
21. Случаи понижения порядка (неполные ДУ):

а)Уравнения вида: .

б)Уравнения вида: .

в) Уравнения вида: .

1. Линейные ДУ второго порядка.
2. Фундаментальная система решений однородного ДУ второго порядка. Условия линейной независимости функций у (х), у (х). Определитель Вронского.
3. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Три случая записи общего решения однородного уравнения:

а) случай действительных различных корней,

б) случай действительных кратных корней,

в) случай комплексных корней.

1. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами со специальной правой частью.
2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Структура общего решения. Метод Лагранжа (вариации произвольных постоянных).
3. Приближённое решение дифференциальных уравнений 2-го порядка у =f(х,у,у).
4. Решение систем дифференциальных уравнений. Метод исключения.
5. Решение систем методом Эйлера.

Вопросы для самоконтроля студентов 3 курса

1. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда..

1. Признаки сходимости рядов с положительными членами.: теоремы сравнения, признаки Даламбера и Коши. Интегральный признак сходимости ряда.
2. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница.
3. Ряды с комплексными членами.
4. Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса.
5. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости рядов с действительными членами.
6. Ряд Тейлора. Разложение по степеням функций.
7. Приложение рядов к приближенным вычислениям.
8. Тригонометрическая система функций. Разложение функций в ряд Фурье. Условия разложимости функций в ряд Фурье.
9. Интеграл Фурье. Комплексная форма интеграла Фурье.
10. Преобразование Фурье. Синус и косинус преобразования Фурье.
11. Аксиоматика теории вероятностей. Серии опытов со случайными подходами. Частота. Свойства частоты. Пространство элементарных событий.
12. Случайные события, операции над событиями и отношения между ними. Алгебра событий.
13. Классическое определение вероятности. Геометрические вероятности. Независимость событий. Вероятность произведения событий.
14. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
15. Последовательность независимых испытаний, схема Бернулли.
16. Предельные те6оремы Муавра- Лапласа и Пуассона.
17. Определение случайной величины. Функция распределения случайной величины. Непрерывные и дискретные распределения.
18. Нормальное, пуассоновское, биномиальное, равномерное распределения.
19. Совместное распределение нескольких случайных величин. Функции от случайных величин.
20. Математическое ожидание, дисперсия и другие моменты случайных величин, их свойства.
21. Ковариация, коэффициент корреляции. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел для последовательности независимых случайных величин.
22. Характеристические функции и их свойства.
23. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых. Теорема Ляпунова. Теорема Хинчина. Цепи Маркова.
24. Элементы математической статистики. Выборки.
25. Точечные оценки независимых параметров распределения по выборке, понятие состоятельности и несмещенности оценок.
26. Понятие о доверительных интервалах и статистической проверке гипотез.
27. Элементы корреляционного анализа. Основные свойства регрессии.
28. Уравнение линейной регресии.