2015-10-22
524
1. При классическом определении вероятность события А определяется соотношением
Р(А)= 
,
где m — число элементарных исходов испытания, благоприятствующих наступлению события А, а n — общее число возможных элементарных исходов испытания. Предполагается, что элементарные исходы единственновозможны и равновозможны.
Относительная частота события А есть W(A)= 
,
где n — число испытаний, в которых событие А наступило, а m — общее число произведенных испытаний.
При статистическом определении в качестве вероятности события принимают его относительную частоту.
2. Схема испытаний Бернулли (повторение опытов). Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р(0<р<1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), есть
Pn(k)= 
pkqn-k, где q=1-p. (1)
Вероятность того, что событие наступит:
а) менее k раз: Pn(0)+ Pn(1)+….+ Pn(k-1),
б) более k раз: Pn(k+1)+ Pn(k+2)+….+ Pn(n),
в) не менее k раз: Pn(k)+ Pn(k+1)+….+ Pn(n ),
г) не более k раз: Pn(0)+ Pn(1)+….+ Pn(k).
3. Если число испытаний n велико, то применение формулы Бернулли приводит к громоздким вычислениям. В таких случаях пользуются предельными теоремами Лапласа.
Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0<р<1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), выражается приближенным равенством
Pn(k)= 
, где 
x= 
. (2)
Функция 
чётная, т.е. 
.
При х>5 можно считать, что 
Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0<р<1), событие наступит не менее k1 раз и не более k 2 раз, выражается приближенным равенством
Pп(k1;k 2)=Ф(х2)- Ф(х1), (3)
где Ф(х)= 
dt - функция Лапласа; x1= 
.
При х>5 полагают Ф(x)=0,5. Функция Лапласа — четная, т. е. Ф(-х)= -Ф(х); Ф(0)=0.
4. Нормальным распределением называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность распределения которого имеет вид: f(x)= 
,
где m — математическое ожидание, а σ — среднее квадратическое отклонение величины X.
Вероятность того, что x примет значение, принадлежащее интервалу (α,β) составляет:
P(α<x<β)=Ф( 
)- Ф( 
), (4)
где Ф (x) — функция Лапласа.
Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа δ, выражается равенством: P( 
δ)=2Ф( 
). (5)
5. Если линия регрессии Y на X — прямая, то корреляцию называют линейной. Выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X имеет вид:
(6)
где 
= 
Если данные наблюдения над признаками X и Y заданы в виде корреляционной таблицы с равноотстоящими вариантами, то целесообразно перейти к условным вариантам:
ui = 
,
где С1 | — ложный нуль вариант X (в качестве его выгодно принять варианту, расположенную примерно в центре вариационного ряда и имеющую наибольшую частоту); 
— шаг, т. е. разность
между соседними вариантами X. Величины С2 и 
относятся к варианте Y. В этом случае выборочный коэффициент корреляции:
= 
. (7)
Величины 
могут быть найдены либо методом произведений, либо непосредственно по формулам:
= 
h1+c1; 
= 
h2+c2; 
; h1 
h2.
