Ряды Тейлора и Лорана

Пусть дана функция , аналитическая в некоторой окрестности точки . Рассмотрим ряд

Этот ряд называется рядом Тейлора функции и внутри своего круга сходимости выражает функцию , т.е. в круге сходимости выполняется равенство

Если , то последнее равенство записывается в виде

В этом случае говорят, что функция разложена в ряд Маклорена.

Рассмотрим теперь два ряда:

(1)

(2)

Область сходимости первого ряда (если она существует) определяется неравенством . Если существует область сходимости второго ряда, то она определяется неравенством . Тогда при условии для ряда

полученного сложением рядов (1) и (2), областью сходимости служит кольцо , ограниченное концентрическими окружностями с центром в точке и радиусами и (см. рисунок).

Пусть - однозначная и аналитическая функция в кольце . Эта функция в указанном кольце может быть представлена в виде суммы ряда

Ряд в правой части равенства называется рядом Лорана функции . Коэффициенты этого ряда можно вычислить по формуле

Ряд (1) называется главной частью ряда Лорана, а ряд (2) – правильной частью ряда Лорана.

Если ряд Лорана содержит главную часть, то называется изолированной особой точкой. Коэффициент называется вычетом функции относительно изолированной особой точки .

Особая точка называется устранимой, если функция - аналитическая в окрестности и ограничена по модулю в этой окрестности, т.е. существует конечный предел . Особая точка называется полюсом функции , если - аналитическая функция вблизи и стремится к бесконечности при .

Особая точка называется существенно особой, если при , близких к , модуль не остается ограниченным, но функция не стремится к при , предел не существует.

Изолированная особая точка является: устранимой, если главная часть разложения в ряд Лорана отсутствует. Например, для функции точка служит устранимой особой точкой, так как

;

Полюсом n -го порядка, если главная часть содержит конечное число членов, т.е. имеет вид

Например, для функции точка есть полюс первого порядка, так как

;

Существенно особой, если главная часть содержит бесконечное число членов. Напримнр, функция в точке имеет существенно особую точку, так как

Между нулем и полюсом функции существует следующая связь. Если - нуль кратности функции , то - полюс того же порядка функции ; обратно, если - полюс порядка функции , то - нуль той же кратности функции .