Теоремы умножения вероятностей

Для вычисления условной вероятности события имеется следующая формула:

Теорема 1. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: Р(АВ)=Р(А)^.Р_А(В)
По формуле для условной вероятности имеем:

Задача. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при первом испытании (событие А), и черного шара (событие В) при втором испытании.

Следствие.

Задача. В урне 4 белых, 5 красных и 3 синих шара. Наудачу по одному без возвращения извлекают три шара. Найти вероятность того, что первый шар белый (событие А), второй шар – красный (событие В), а третий шар – синий (событие С)

Событие В называется независимым от события А, если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности (появление события А не влияет на вероятность события В): Р_А(В)=Р(В)

Отсюда следует, что и событие А также независимо от события В.

Теорема 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их безусловных вероятностей: Р(АВ)=Р(А)^.Р(В).
По предыдущей теореме

Задача. Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием (событие А) равна 0,8, а вторым орудием (событие В) – 0,7.
Р(АВ)=Р(А)^.Р(В)=0,8^.0,7=0,56

Несколько событий называются попарно независимыми, если каждые два из них независимы.

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких независимых в совокупности событий равна произведению их вероятностей: Р(АВС)=Р(А)Р(В)Р(С)