Первообразной функцией для функции f (x) называется такая функция F (x), производная которой равна данной функции, т.е. F' (x) = f (x).
Неопределенным интегралом от непрерывной функции f (x) или от дифференциального выражения f (x) dx называется совокупность первообразных функций f (x).
Обозначение:
, где F' (x) = f (x). Функция f (x) называется подынтегральной функцией, а выражение f (x) dx – подынтегральным выражением.
Свойства неопределенного интеграла:
Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, а его дифференциал – подынтегральному выражению.
; d ;
Неопределенный интеграл от дифференциала функции f (x) равен функции f (x) с точностью до постоянного слагаемого
.
Постоянный множитель в подынтегральном выражении можно выносить за знак неопределенного интеграла
.
Неопределенный интеграл алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов этих функций
Таблица простейших неопределенных интегралов
. . .
. . .
. . .
. .
. .
Методы интегрирования.
Интегрирование разложением.
Если , то .
Пример 1. Найти интеграл .
Решение.
=
.
Метод подстановки.
Интегрирование путем введения новой переменной (метод подстановки) основано на формуле , где - дифференцируемая функция переменной t.
Пример 2. Найти интеграл .
Решение. Положим , тогда , откуда .
Подставляя полученные равенства в подынтегральное выражение, находим
Метод интегрирования по частям.
Если - дифференцируемые функции от х, то из формулы для дифференциала произведения двух функций получается формула интегрирования по частям .
Пример 3. Найти .
Решение. Обозначим: , отсюда dx = du, v = - cosx.
Подставляя значения u,v,du,dv в формулу интегрирования по частям, получим .
Упражнения.
4.1. Найти неопределенные интегралы:
a) ; b) ;
c) ; d) ;
e) ; f) ;
g) ; h) ;
i) ; j) ;
k) ; l) .
4.2. Найти неопределенные интегралы методом замены переменной:
a) ; b) ; c) ; d) ;
e) ; f) ; g) ; h) ;
i) ; j) ; k) ; l) ; m)
4.3. Найти неопределенные интегралы методом интегрирования по частям:
a) ; b) ; c) ; d) ;
e) ; f) ; g) ; h) ;
h) ; I) .
4.4. Интегрирование рациональных дробей:
a) ; b) ; c) ;
d) ; e) ; f) ; q) .
7.5. Интегрирование иррациональных выражений:
а) ; b) ; с) ; d) .
4.2 Определенный интеграл и его приложения
Определенным интегралом от функции у = f (x) на отрезке называется предел его интегральной суммы, когда число элементарных отрезков неограниченно возрастает, а длина наибольшего из них стремится к нулю:
.
Определенным интегралом от непрерывной функции на отрезке называется приращение любой его первообразной функции на этом отрезке:
Формула Ньютона – Лейбница: , где .
Методы вычисления определенного интеграла аналогичны вычислению неопределенного интеграла.
Замена переменной в определенном интеграле осуществляется по формуле
, где ; t – новая переменная, , - новые пределы интегрирования.
Интегрирование по частям в определенном интеграле:
.
Пример 4. Вычислить определенный интеграл .
Решение. .
Пример 5. Вычислить .
Решение. Положим , тогда x = t2 и dx = 2tdt. Подставляя старые пределы интегрирования в формулу , получаем = 0, = 2.
Следовательно
Пример 6. Вычислить .
Решение. Применяем формулу интегрирования по частям. Полагая u = ln x, dv = dx, определяем .
Следовательно,
Приложения определенного интеграла
Вычисление площади плоской фигуры.
а) Площадь криволинейной трапеции АаbB, ограниченной сверху графиком кривой y = f (x), слева и справа – соответственно прямыми х = а, х = b, снизу – осью Ох, вычисляется по формуле или .
|
0 а b X
b) Площадь криволинейной фигуры, ограниченной сверху и снизу соответственно кривыми y1 = f1 (x), y2 = f2 (x), слева и справа – прямыми х = а и x = b, определяется формулой
или .
|
|
|
|
с) Площадь криволинейной трапеции, прилегающей к оси Оу, вычисляется по формуле
|
|
|
d) Если фигура расположена ниже оси OX, то
S = -
y
а в
x
y = f(x)
В более сложных случаях всю фигуру разбивают на части и площадь всей фигуры находят как сумму составляющих ее площадей.
Пример 7. Определить площадь фигуры, ограниченной линиями ху = 6, х = 1, х = е, у = 0.
Решение. Определяя у из уравнения гиперболы ху = 6, получим . Определим новые пределы интегрирования a = 1, b = e. Подставляя значения a, b и (выражение для у) в формулу, находим:
.
|
|
Вычисление объема тела вращения.
Объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, где АВ – дуга кривой у = f (x), вычисляется по формуле .
Объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, где СD – дуга кривой , определяется по формуле .
Пример 8. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной параболой у2 = 2х, прямой х = 3 и осью Ох.
Решение. В соответствии с условием задачи определяем пределы интегрирования а = 0, b = 3. Находим .
Пример 9. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапецией, ограниченной гиперболой и прямыми .
Решение. Из условия вытекает, что пределы интегрирования будут: c = - 2b, d =2b.
Выражение для х2, входящее в формулу, определяется из уравнения гиперболы:
, .
Подставляя эти выражения в формулу, получаем
Упражнения.
4.5. Вычислить определенный интеграл:
a) ; b) ; c) ; d) ;
e) ; f) ; g) ; h) ;
i) ; j) .
4.6. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. Сделать чертеж.
a) y = x2; x = 1; x = 2.
b) y2 = 4x; x = 2.
c) x = y2; y = x2 + 1; 3x + 2y – 16 = 0; x = 0.
d) y = - x2 + 4x – 1; y = - x – 1.
e) y = (x + 1)3; y2 = x + 1.
f) y3 = x; x = 1; y = 8.
g) x = 0; x = 2; y = 2x; y = 2x – x2.
i) y = 2x – x2; y = - x.
4.7 Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси 0Х фигуры, ограниченной линиями:
a) ; ; .
b) ; ; .
c) ; ; ; .
d) ; ; ; ; .
e) ; .
4.8 Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси 0Y фигуры, ограниченной линиями:
a) ; ; .
b) ; ; .
c) ; ; .
d) ; ; , где .
e) ; ; ; .