2015-10-22
2443
Первообразной функцией для функции f (x) называется такая функция F (x), производная которой равна данной функции, т.е. F' (x) = f (x).
Неопределенным интегралом от непрерывной функции f (x) или от дифференциального выражения f (x) dx называется совокупность первообразных функций f (x).
Обозначение:
, где F' (x) = f (x). Функция f (x) называется подынтегральной функцией, а выражение f (x) dx – подынтегральным выражением.
Свойства неопределенного интеграла:
Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, а его дифференциал – подынтегральному выражению.
; d 
;
Неопределенный интеграл от дифференциала функции f (x) равен функции f (x) с точностью до постоянного слагаемого
.
Постоянный множитель в подынтегральном выражении можно выносить за знак неопределенного интеграла
.
Неопределенный интеграл алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов этих функций
Таблица простейших неопределенных интегралов
. 
. 
.
. 
. 
.
. 
. 
.
. 
.
. 
.
Интегрирование разложением.
Если 
, то 
.
Пример 1. Найти интеграл 
.
Решение.
= 
.
Метод подстановки.
Интегрирование путем введения новой переменной (метод подстановки) основано на формуле 
, где 
- дифференцируемая функция переменной t.
Пример 2. Найти интеграл 
.
Решение. Положим 
, тогда 
, откуда 
.
Подставляя полученные равенства в подынтегральное выражение, находим
Метод интегрирования по частям.
Если 
- дифференцируемые функции от х, то из формулы для дифференциала произведения двух функций 
получается формула интегрирования по частям 
.
Пример 3. Найти 
.
Решение. Обозначим: 
, отсюда dx = du, v = - cosx.
Подставляя значения u,v,du,dv в формулу интегрирования по частям, получим 
.
Упражнения.
4.1. Найти неопределенные интегралы:
a) 
; b) 
;
c) 
; d) 
;
e) 
; f) 
;
g) 
; h) 
;
i) 
; j) 
;
k) 
; l) 
.
4.2. Найти неопределенные интегралы методом замены переменной:
a) 
; b) 
; c) 
; d) 
;
e) 
; f) 
; g) 
; h) 
;
i) 
; j) 
; k) 
; l) 
; m) 
4.3. Найти неопределенные интегралы методом интегрирования по частям:
a) 
; b) 
; c) 
; d) 
;
e) 
; f) 
; g) 
; h) 
;
h) 
; I) 
.
4.4. Интегрирование рациональных дробей:
a) 
; b) 
; c) 
;
d) 
; e) 
; f) 
; q) 
.
7.5. Интегрирование иррациональных выражений:
а) 
; b) 
; с) 
; d) 
.
4.2 Определенный интеграл и его приложения
Определенным интегралом от функции у = f (x) на отрезке 
называется предел его интегральной суммы, когда число элементарных отрезков неограниченно возрастает, а длина наибольшего из них стремится к нулю:
.
Определенным интегралом от непрерывной функции на отрезке называется приращение любой его первообразной функции на этом отрезке:
Формула Ньютона – Лейбница: 
, где 
.
Методы вычисления определенного интеграла аналогичны вычислению неопределенного интеграла.
Замена переменной в определенном интеграле осуществляется по формуле
, где 
; t – новая переменная, 
, 
- новые пределы интегрирования.
Интегрирование по частям в определенном интеграле:
.
Пример 4. Вычислить определенный интеграл 
.
Решение. 
.
Пример 5. Вычислить 
.
Решение. Положим 
, тогда x = t2 и dx = 2tdt. Подставляя старые пределы интегрирования в формулу , получаем = 0, = 2.
Следовательно
Пример 6. Вычислить 
.
Решение. Применяем формулу интегрирования по частям. Полагая u = ln x, dv = dx, определяем 
.
Следовательно,
Приложения определенного интеграла
Вычисление площади плоской фигуры.
а) Площадь криволинейной трапеции АаbB, ограниченной сверху графиком кривой y = f (x), слева и справа – соответственно прямыми х = а, х = b, снизу – осью Ох, вычисляется по формуле 
или 
.
|
0 а b X
b) Площадь криволинейной фигуры, ограниченной сверху и снизу соответственно кривыми y1 = f1 (x), y2 = f2 (x), слева и справа – прямыми х = а и x = b, определяется формулой
или 
.
|
|
|
|
с) Площадь криволинейной трапеции, прилегающей к оси Оу, вычисляется по формуле
|
или 
.
|
|
x d) Если фигура расположена ниже оси OX, то
S = - 
y
а в
x
 |
y = f(x)
В более сложных случаях всю фигуру разбивают на части и площадь всей фигуры находят как сумму составляющих ее площадей.
Пример 7. Определить площадь фигуры, ограниченной линиями ху = 6, х = 1, х = е, у = 0.
Решение. Определяя у из уравнения гиперболы ху = 6, получим 
. Определим новые пределы интегрирования a = 1, b = e. Подставляя значения a, b и 
(выражение для у) в формулу, находим:
.
|
|
0 Вычисление объема тела вращения.
Объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, где АВ – дуга кривой у = f (x), вычисляется по формуле 
.
Объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, где СD – дуга кривой 
, определяется по формуле 
.
Пример 8. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной параболой у2 = 2х, прямой х = 3 и осью Ох.
Решение. В соответствии с условием задачи определяем пределы интегрирования а = 0, b = 3. Находим 
.
Пример 9. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапецией, ограниченной гиперболой 
и прямыми 
.
Решение. Из условия вытекает, что пределы интегрирования будут: c = - 2b, d =2b.
Выражение для х2, входящее в формулу, определяется из уравнения гиперболы:
, 
.
Подставляя эти выражения в формулу, получаем
Упражнения.
4.5. Вычислить определенный интеграл:
a) 
; b) 
; c) 
; d) 
;
e) 
; f) 
; g) 
; h) 
;
i) 
; j) 
.
4.6. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. Сделать чертеж.
a) y = x2; x = 1; x = 2.
b) y2 = 4x; x = 2.
c) x = y2; y = x2 + 1; 3x + 2y – 16 = 0; x = 0.
d) y = - x2 + 4x – 1; y = - x – 1.
e) y = (x + 1)3; y2 = x + 1.
f) y3 = x; x = 1; y = 8.
g) x = 0; x = 2; y = 2x; y = 2x – x2.
i) y = 2x – x2; y = - x.
4.7 Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси 0Х фигуры, ограниченной линиями:
a) 
; 
; 
.
b) 
; 
; 
.
c) 
; 
; ; 
.
d) 
; 
; ; ; .
e) 
; 
.
4.8 Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси 0Y фигуры, ограниченной линиями:
a) 
; ; .
b) 
; 
; .
c) 
; 
; .
d) 
; ; , где 
.
e) 
; ; ; .
