Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F(x, y, y^’) или y^’= f(x, y) (разрешенное относительно y).

Решением дифференциального уравнения называется функция у(x), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Общее решение дифференциального уравнения можно записать в явном виде или в виде общего интеграла Ф(x, y, C) = 0, где С – произвольная постоянная.

Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в некоторой области, содержащей точку (x₀, y₀) и имеет там ограниченную частную производную по y, то существует единственное решение уравнения , удовлетворяющее условию Коши: y = y₀ при x = x₀.

Уравнения, допускающие аналитическое решение:

1) Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

путем деления на допускают интегрирование

2) Однородное дифференциальное уравнение с помощью подстановки y=xz приводится к уравнению с разделяющимися переменными .

3) Линейное дифференциальное уравнение . Решение ищем в виде , где v удовлетворяет однородному линейному дифференциальному уравнению

Для u получим уравнение .

Интегрируя последовательно уравнения для u и v получим решение

, где

4) Уравнение Бернулли. Замена приводит к линейному дифференциальному уравнению

5) Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

, где

Общий интеграл: , где функция u определяется из системы

Интегрируя первое уравнение, имеем . Подстановка этого выражения во второе уравнение позволяет найти функцию , а затем u.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Так как , , то данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Найдем такую функцию u(x, y), что ;

Первое из этих уравнений проинтегрируем по х, считая y постоянным; при этом вместо постоянной интегрирования поставим - неизвестную функцию от y:

Подставляя это выражение во второе уравнение, найдем:

; .

Следовательно, можно взять и общее решение исходного уравнения будет иметь вид:

Дифференциальные уравнения высших порядков.

Общее решение дифференциального уравнения n – го порядка

имеет вид , где - произвольные постоянные.

Простейшие дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка:

1) Уравнение решается последовательным n – кратным интегрированием правой части,

2) Уравнение , не содержащее явно y, с помощью подстановки приводится к дифференциальному уравнению 1-го порядка ,

3) Уравнение , не содержащее явно x. Подстановка (y играет роль независимой переменной) с учетом равенств приводит уравнение к уравнению 1-го порядка

Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка ()

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения:

где - линейно-независимые частные решения (фундаментальная система решений) этого уравнения; - произвольные постоянные.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка ()

Общее решение

где u(x) - частное решение неоднородного уравнения, а - фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения.

Если , то частное решение , где и - частные решения, соответствующие отдельным слагаемым и в правой части дифференциального уравнения.

1. Линейные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.

Линейное однородное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами (a₀, a₁, a₂, a_n – числа) имеет вид:

Корни характеристического уравнения:

определяют следующие слагаемые в общем решении:

а) действительный простой корень дает слагаемое ;

б) действительный корень кратности m дает слагаемое

в) пара комплексно-сопряженных корней дает слагаемое

г) пара комплексно-сопряженных корней кратности m дает слагаемое .

Например, если все корни характеристического уравнения действительны и различны, то дифференциальное уравнение имеет общее решение

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.

Если , где и - многочлены n-ой и m-ой степени, то частное решение ищут методом неопределенных коэффициентов в виде

;

Здесь r – кратность корня в характеристическом уравнении (если такого корня нет, то r = 0);

и - степени . Неопределенные коэффициенты находятся из системы линейных алгебраических уравнений, путем приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях x в обеих частях исходного уравнения после подстановки в него u(x) вместо y. Если в выражение для f(x) входит хотя бы одна из функций или , то в u(x) надо всегда вводить обе функции.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Составляем характеристическое уравнение ; .

- двукратный корень, - кратности 1.

Поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид:

Правая часть исходного уравнения состоит из двух слагаемых. Для первого уравнения

(*)

частное решение будет иметь вид , так как имеем кратный корень. Подставив y₁ в уравнение (*), найдем .

Для второго уравнения (**) частное решение будем искать в виде

Подставив y₂ в уравнение (**), найдем

Тогда общее решение исходного уравнения y = y₀ + y₁ + y₂, где y₀, y₁, y₂ уже найдены.

Упражнения.

Найти и построить интегральную кривую, проходящую через точку М:

a) , М (1;0);

b) , М (-2;-3);

c) , М (0;1);

d) , М (4;2);

e) , М (2;-1);

f) , М (2;1);

g) , М (1;2);

h) , М (0;1).

Найти общее решение дифференциального уравнения:

a) ; b ;

c) ; d) ;

e) ;

f) ; g) ;

h) .

Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию:

a) , ;

b) , ;

c) , ;

d) , ;

e) , ;

f) , ;

g) , ;

h) , .

Найти общий интеграл однородного уравнения:

a) ; b) ;

c) ; d) ;

e) ; f) ;

g) ; h) .

Решить линейные однородные уравнения второго порядка:

a) ; b) ;

c) ; d) ;

e) ; f) ;

g) ; h) .

Решить линейные неоднородные уравнения:

a) ; b) ;

c) ; d) .

Ряды.

Числовые ряды

Выражение называется числовым рядом;

u_{к –} общим числом ряда;

- n -ной частичной суммой ряда.

Ряд называется сходящимся, а S – суммой ряда, если . Если не существует или не ограничен, то ряд называется расходящимся.

Свойства сходящихся рядов:

1. Необходимый признак сходимости ряда: если ряд сходится, то (если , то ряд расходится).

2. Члены сходящегося ряда можно группировать в порядке следования, полученный новый ряд сходится и имеет ту же сумму.

3. Если сходятся ряды и , то сходится ряд

Признаки сходимости рядов с положительными членами:

1. Признак сравнения.

Если для всех > N, то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда - расходимость ряда .

Для эффективного применения признака сравнения необходимо иметь «запас» рядов, сходимость или расходимость которых твердо установлена. Некоторые из таких рядов приведены в таблице:

Сходящиеся ряды	Расходящиеся ряды
геометрический ряд со знаменателем 0<q<1	геометрический ряд со знаменателем q 1
α >1	(0 < , α=1 – гармонический ряд)
	при а>0

2. Признак сравнения в предельной форме.

Если для знакоположительных рядов и существует конечный предел , то из сходимости второго ряда вытекает сходимость первого ряда. Если (но возможно ), то из расходимости второго ряда следует расходимость первого.