Вращение без указания оси вращения

(Способ плоскопараллельного движения).

В этом способе ось вращения фигуры не указывается, а все точки фигуры перемещаются в пространстве в параллельных между собой плоскостях, которые параллельны одной из плоскостей проекций. При этом одна из проекций фигуры, не изменяя своих размеров, изменяет лишь свое месторасположение.

Это следует из равенства прямоугольных треугольников АВВ₀ и А’В’В’₀ (рис. 54). АВ = А’B’ по условию, ВВ₀ = В’В’₀ как разность высот, следовательно, , а и .

Рис. 54

Задача. Определить натуральную величину отрезка АВ (А₁В₁, А₂В₂) (рис. 55).

Решение

Рис. 55

Преобразуем прямую АВ так, чтобы она стала линией уровня (в нашем случае фронталью). Для этого располагаем горизонтальную проекцию А₁В₁ параллельно оси проекций в любом месте чертежа, при этом . Фронтальную проекцию А’₂В’₂ находим путем проведения через точки А₁’, В₁’ линий связи, а из точек A₂ и B₂ прямых, перпендикулярных линиям связи до их пересечения.

Задача. Определить натуральную величину треугольника АВС.

Решение

Чтобы определить натуральную величину треугольника АВС, надо его преобразовать способом плоскопараллельного перемещения в начале в положение проецирующей плоскости, а затем – в плоскость уровня (рис. 56).

Для этого проводим в треугольнике АВС горизонталь h и перемещаем ее в положение, перпендикулярное к П₂. При этом h₁’ = h₁ и h₁’ оси х₁₂.

Рис. 56

Треугольник А₁’B₁’C₁’ конгруэнтен треугольнику А₁В₁С₁. Фронтальные проекции А₂В₂С₂ вершин треугольника будут перемещаться по горизонтальным прямым, а их новые положения А₂’B₂’C₂’ находим по линиям связи. Вторым плоскопараллельным движением, но уже относительно П₂, поставим треугольник А’B’C’ в горизонтальное положение A’’B’’C’’. Для этого новую фронтальную проекцию А₂’’B₂’’C₂’’ треугольника располагаем горизонтально, где A₂’’B₂’’ = A₂’B₂’ и A₂’’C₂’’ = A₂’C₂’. Новые горизонтальные проекции А₁’’, B₁’’, C₁’’ вершин треугольника найдем на пересечении линий связи с траекториями движения точек А₁’, B₁’, C₁’ горизонтальными прямыми A₁’A₁’’, B₁’B₁’’, C₁’C₁’’. Полученная горизонтальная проекция A₁’’B₁’’C₁’’ равна натуральной величине треугольника АВС.

ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ.

Все задачи начертательной геометрии делятся на два больших класса: позиционные и метрические.

Позиционные – это задачи на определение занимаемого положения геометрической фигуры. Они бывают двух типов: задачи на инцидентность (принадлежность) и задачи на пересечение.

Рассмотрим решение одной из важнейших задач на пересечение прямой линии и плоскости, которая называется первая основная позиционная задача.