Області значень та визначення

Докладніше: Область визначення та Область значень

X, множина вхідних значень, також називається областю визначення f, а Y, множина усіх можливих результатів, інколи називається областю значень, але більш коректно називати областю значень множину усіх тих елементів Y, для яких існують відповідні елементи з X. Тому в загальному випадку область значень є лише підмножиною Y.

Тотожною функцією (тотожним відображенням) називають функцію, область значень і визначення якої збігаються.

Ін'єктивні, сюр'єктивні та бієктивні функції

Існують спеціальні назви для деяких важливих різновидів функцій:

• Ін'єктивна функція — функція, в якій різним значенням аргумента відповідають різні результати, тобто, для двох елементів x, y з Y виконується: f (x) = f (y) тоді й тільки тоді, якщо x = y.
• Сюр'єктивна функція — функція f: X → Y, область значень якої збігається з множиною Y, тобто, для кожного y з Y існує x з X такий, що f (x) = y.
• Бієктивна функція — функція, яка є одночасно сюр'єктивною та ін'єктивною, тобто встановлює взаємно однозначну відповідність між елементами множин X та Y.

Образ та прообраз

Образом елемента x ∈ X для відображення (функції) f є результат відображення (функції) f (x).

Образ підмножини A ⊂ X для f є така підмножина Y, яка відповідає умові:

f (A) = { f (x) | x ∈ A }

Слід зазначити, що область значень f збігається з образом області визначення f (X).

Прообраз відображення (або обернений образ) множини B ⊂ Y для f є підмножиною множини X, визначеною як

f ⁻¹(B) = { x ∈ X | f (x) ∈ B }

Графік функції

Графік функції f є множина всіх впорядкованих пар (x, f (x)), для всіх x з області визначення X.

Графік кубічної функції. Ця функціє є сюр'єктивною, але не ін'єктивною

Композиція функцій

З функцій f: X → Y та g: Y → Z можна побудувати композицію функцій таким чином: спершу застосувавши f до аргумента x з X, а потім застосувавши g до результата. Така композиція функцій позначається g o f: X → Z, тобто (g o f)(x) = g(f(x)) для всіх x з X.