Извлечение корней из комплексных чисел

Извлечение корня n-й степени определяется как действие, обратное возведению в натуральную степень.

Корнем n-й степени из комплексного числа z называется комплексное число ω, удовлетворяющее равенству ωⁿ=z, т. е. , если ωⁿ= z.

Если положить z=r(cosφ+isinφ), а ω=r(cosθ+isinθ), то, по определению корня и формуле Муавра, получаем

z=ωⁿ =rⁿ(cos nθ+isin nθ)-r(cosφ+isinφ).

Отсюда имеем rⁿ=r, nθ=φ+2πk, k=0,-1,1,-2,2,... To есть

и (арифметический корень).

Поэтому равенство принимает вид

Получим n различных значений корня. При других значениях k, в силу периодичности косинуса и синуса, получатся значения корня, совпадающие с уже найденными. Так, при k=n имеем

Итак, для любого z≠0 корень n-й степени из числа z имеет ровно n различных значений.