2015-10-22
997
Матрица, обратная матрице 
, представима в виде
где 
— присоединенная матрица;
Сложность алгоритма зависит от сложности алгоритма расчета определителя Odet и равна O(n²)·Odet.
.
Матрица первого порядка содержит единственный элемент, и этот элемент является определителем матрицы.
Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка,
 . | (1) |
Для вычисления определителя матрицы A нужно рассмотреть все возможные перестановки индексов, нумерующих ее столбцы. В рассматриваемом случае перечень возможных перестановок множества {1, 2} исчерпывается двумя вариантами:
Перестановка {1, 2} не содержит инверсий и поэтому является четной, тогда как перестановка {2, 1} является нечетной, ибо содержит одну инверсию. Эти перестановки порождают произведения
алгебраическая сумма которых представляет собой определитель матрицы второго порядка:
 | (2) |
В случае матрицы третьего порядка существует уже шесть различных перестановок множества {1, 2, 3}:
{1, 2, 3}, {2, 3, 1}, {3, 1, 2},
{3, 2, 1}, {2, 1, 3}, {1, 3, 2}.
Первые три перестановки являются четными, поскольку каждая из них содержит четное число инверсий. Оставшиеся три перестановки являются нечетными, так как каждая из них содержит нечетное число инверсий (см Примеры).
|
|
|
Таким образом,
   | (3) |
Эту формулу можно легко запомнить с помощью правила треугольников, которое иллюстрируется представленными ниже рисунками.
Рис. 1. Произведения элементов, расположенных на главной диагонали матрицы или в вершинах треугольников, основания которых параллельны этой диагонали, берутся со своими знаками.
Рис. 2. Произведения элементов, расположенных на побочной диагонали матрицы или в вершинах треугольников, основания которых параллельны этой диагонали, берутся с противоположными знаками.
