2015-10-22
485
Лінійна система (8.1) сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці системи.
Доведемо достатню умову. Нехай Rg A = Rg 
= r. Доведемо, що в цьому випадку система (8.1) сумісна. Для простоти вважатимемо, що базисний мінор (відмінний від нуля мінор
r -того порядку) міститься у верхньому лівому кутку матриці . Тоді згідно з теоремою про базисний мінор стовпці В 1, В 2,..., В r матриці будуть лінійно незалежні, а всі інші стовпці B r +1, B r +2,..., B n, B є лінійні комбінації стовпців В 1, В 2,..., В r. Зокрема, В = a 1 В 1 + a 2 В 2 +... + a r B r,
або B = a 1 В 1 + a 2 В 2 +... + a r B r + 0× В r +1 +... + 0× B n.
Якщо порівняти цю рівність з матричним рівнянням (8.2), то одержимо, що x 1 = a 1, x 2 = a 2,..., xr = a r, xr +1 = 0,..., xn = 0 є розв’язок системи (8.1). З цього випливає, що система сумісна.
