Властивостi її розв’язків

Однорідна система m лінійних рівнянь з n невідомими має вигляд

(10.1)

Оскільки вона є окремим випадком системи лінійних рівнянь загального вигляду, то всі результати дослідження неоднорідної системи справедливі i для однорідної системи. Зокрема, із теореми Кронекера-Капеллі випливає, що однорідна система завжди сумісна. Вона має єдиний (тривіальний) розв’язок або безліч розв’язків.

Розглянемо деякі властивості розв’язків однорідної системи:

1) Якщо a = (a₁, a₂,...,a_n) є розв’язок системи однорідних лінійних рівнянь, то і Ca = (Сa₁, Сa₂,...,Сa_n), де С — довільне дійсне число, також є розв’язок цієї системи.

Доведення. Запишемо однорідну систему у вигляді рівняння

a_i1x₁ + a_i2x₂ +... + a_inx_n = 0, .

Так як a є розв’язок системи, то має місце рівність

a_i1 a₁ +... + a_in a_n = 0.

Звідси випливає, що

a_i1 С a₁ +... + a_inС a_n = 0.

Таким чином, Сa — розв’язок системи (10.1).

2) Якщо a = (a₁, a₂,..., a_n) та b = (b₁, b₂,..., b_n) є розв’язки системи однорідних лінійних рівнянь, то a + b також є розв'язок цієї системи.

Довести самостiйно.