Загальний розв’язок неоднорідної системи дорівнює сумі якогось частинного розв’язку цієї системи і загального розв’язку зведеної системи

З використанням фундаментальної системи загальний розв’язок зведеної системи, ранг якої дорівнює , може бути записаний у вигляді

,

де — довільні сталі, , , , …, .

Тоді загальний розв’язок неоднорідної системи лінійних рівнянь має вигляд

,

або .

Проілюструємо справедливість теореми на прикладі.

Знайти загальний розв’язок неоднорідної системи

Розв’яжемо систему методом Гаусса

= ® ®

®

Вважаючи x ₁, x ₂ базисними невідомими, а x ₃ та x ₄ вільними , отримаємо загальний розв’язок

Х(С_1,С₂) = = = + ,

де = Х_ч — частинний розв’язок неоднорідної системи,

= Х₀(С_1,С₂) — загальний розв’язок зведеної системи.

Оскільки Х₀(С_1,С₂) = С₁ Е₁ + С₂ Е₂,

де Е₁ = Х₀(1,0) = , Е₂ = Х₀(0,1) = є фундаментальна система розв’язків, то

Х(С_1,С₂) = + С₁ + С₂ .

Вправи. Знайти загальний розв’язок неоднорідної системи

та записати його використовуючи фундаментальну систему розв’язків:

1)

Відповідь: , ,

2)

Відповідь: система несумісна.

3)

Відповідь: , , , .

4)
Відповідь: ,

, , .

Список літератури

1. К остарчук В. М., Хауст Б. І. Курс вищої алгебри. — К.: Рад. шк., 1960.

2. Крутицкая Н. Ч., Шишкин А. А. Линейная алгебра в вопросах и задачах. — М.: Высш. шк., 1985.

3. Кулініч Г. Л., Таран Є. Ю. та ін. Вища математика. Кн. 1. — К.: Либідь, 1996.

З м і с т

1. Системи лінійних рівнянь. Поняття матриці........................... 3

2. Поняття детермінанта матриці.

Властивості детермінантів....................................................... 6

3. Розв’язування квадратних лінійних систем

за формулами Крамера......................................................... 12

4. Основні операції над матрицями та їх властивості.............. 16

5. Обернена матриця (означення, знаходження,

властивості)........................................................................... 20

6. Розв’язування квадратних лінійних систем за

допомогою оберненої матриці.............................................. 25

7. Поняття рангу та базисного мінору матриці.

Знаходження рангу матриці.................................................. 27

8. Критерій сумісності лінійної системи................................... 33

9. Розв’язування неоднорідних систем

лінійних рівнянь.................................................................... 35

10. Системи однорідних рівнянь................................................ 37

11. Метод Гаусса......................................................................... 40

12. Зв’язок між розв’язками неоднорідної і

зведеної систем..................................................................... 42

13. Список літератури.............................................................. 46

14. Зміст..................................................................................... 47