Основные понятия и определения

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИя И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ДИЗАЙНА И ТЕХНОЛОГИИ»

(ФГБОУ ВПО «МГУДТ»)

Никифоров В.М., Фатеев В.И.

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Ч а с т ь 1

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР

И ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ ТЕХНИЧЕСКОГО РИСУНКА

Учебное пособие

Допущено к изданию редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия для подготовки бакалавров

по направлению 54.03.01 Дизайн

М о с к в а

М Г У Д Т

2 0 1 4

УДК 514.18(072)

H62

Н62 Никифоров В.М., Фатеев В.И. Начертательная геометрия. Часть 1. Ортогональные проекции геометрических фигур и основы построения технического рисунка: Учебное пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. -М.: МГУДТ, 2014. –101с.

Рецензенты:

- доцент кафедры стандартизации и инженерно-компьютерной графики ФГБОУ ВПО «Российский химико-технологический университет им.Д.И. Менделеева», к.т.н. Киракосян В.Р.;

- доцент кафедры начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графики ФГБОУ ВПО «МГУДТ», к.т.н. Баринов Н.В.

Часть 1 учебного пособия содержит следующие разделы курса начертательной геометрии: ортогональные проекции точки, прямой и кривой линии, плоскости и разнообразных поверхностей; позиционные задачи; аксонометрические проекции; теория теней. Эти разделы являются теоретической основой для построения технических рисунков геометрических объектов и их комбинаций.

Во втором издании учтены последние изменения и дополнения в соответствущих рабочих программах учебных дисциплин.

Учебное пособие предназначено для обучающихся по направлению подготовки 54.03.01 Дизайн очной формы обучения и будет использовано при изучении дисциплины «Технический рисунок».

УДК 514.18(072)

Подготовлено к печати на кафедре начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графики.

Печатается в авторской редакции.

ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

1. Точки - A, B, C, … или 1, 2, 3, … (латинские прописные буквы или арабские цифры).

2. Прямые и кривые линии - a, b, c, … (строчные буквы латинского алфавита).

Отрезок прямой, ограниченный точками А и В – АВ.

3. Поверхности и плоскости - Σ, Δ, Τ, … (прописные буквы греческого алфавита).

4. Плоскости проекций – Π₁ (горизонтальная), Π₂ (фронтальная), Π₃ (профильная). Новая плоскость при замене плоскостей проекций – буквой Π с добавлением подстрочного индекса (Π₄, Π₅, Π₆ … - в методе ортогонального проецирования; Π_A – плоскость аксонометрических проекций).

5. Проекции точек, прямых и поверхностей – той же буквой с добавлением подстрочного индекса, соответсвующего плоскости проекций, например А₁ – проекция точки А на плоскость П₁.

6. Обозначения проекций невидимых точек заключают в скобки, например (A₁), (B₂), (C₃).

7. Углы - α, β, γ, … (строчные буквы греческого алфавита). Прямой угол обозначается точкой внутри сектора:

8. Основные операции:

8.1. ≡ - совпадение двух геометрических фигур, например Σ_n≡Σ_K – фигуры Σ_n и Σ_K совпадают.

8.2.׀׀ – параллельны.

8.3. ╫ – не параллельны.

8.4. – перпендикулярны.

8.5. – принадлежит, является элементом.

8.6. – не принадлежит, не является элементом.

8.7. – пересечение фигур.

8.8. Σ_n Σ_K – фигура Σ_n есть подмножество фигуры Σ_K.

8.9. Σ_n Σ_K – фигура Σ_n не является подмножеством фигуры Σ_K.

8.10. = - равенство величин, например АВ=CD - отрезки АВ и CD равны по длине; результат геометрической операции, например К = а b – точка К является результатом пересечения прямых а и b.

7. Оси проекций и оси координат - x, y, z. Оси с индексами указывают на соответствующие плоскости проекций. Так, ось x₁₂ разделяет поле горизонтальных проекций (индекс 1) и поле фронтальных проекций (индекс 2).

Значения координат точек обозначаются буквами, соответствующими осям координат, с добавлением подстрочного индекса, соответствующего точке, например x_В, y_В, z_B - координаты точки В).

8. Последовательность геометрических фигур – надстрочным индексом (точек – A¹, A², A³ …; прямых - а¹, а², а³ … и т. д.).

9. Аксонометрические проекции точек, прямых, координатных осей - буквами, соответствующими натуре, с добавлением подстрочного индекса «А» (А_А – аксонометрическая проекция точки А; а_А – аксонометрическая проекция прямой а; x_A, y_A, z_A – аксонометрические проекции осей координат x, y, z). Часто с целью упрощения индекс«А» опускается.

10. Проекции тени от точки и прямой в аксонометрии и в перспективе – буквами, соответствующими натуре, с добавлением подстрочного индекса «0» (A₀ и a ₀ – соответственно проекции тени от точки A и прямой a).

В В Е Д Е Н И Е

Начертательная геометрия является одной из первых фундаментальных дисциплин, изучаемых студентами, обучающимися по направлению подготовки бакалавров 54.03.01 Дизайн, как и студентами многих других направлений подготовки специалистов. Она представляет собой раздел проекционной геометрии, в котором изучаются способы изображения пространственных геометрических объектов на плоскости, а также способы решения позиционных, метрических и конструкторских задач. При этом построение различного рода геометрических фигур на плоскости или, иными словами, выполнение на листе бумаги изображений (рисунков), отвечающих заданным условиям, является, в основном, содержанием работы дизайнеров, как будущих специалистов.

Неизмеримо возросший уровень требований к качеству подготовки бакалавров, магистров и специалистов выводит начертательную геометрию в ряд основных дисциплин. Таким образом начертательная геометрия относится к дисциплинам, с помощью которых осуществляется подготовка выпускников вузов, владеющих способами графических построений изображений объектов различной геометрической формы.

Начертательная геометрия со времён её основоположника Г. Монжа (1746-1818гг) заняла достойное место в высшей школе как наука, без которой невозможно формирование будущего специалиста. Важнейшее прикладное значение этой дисциплины состоит в том, что она учит грамотно владеть общедоступным выразительным технологическим языком – языком чертежа и рисунка, выполнять построение рисунка объекта, а также выполнять чертежи и свободно их читать.

Современное производство и дизайн-проектирование невозможно представить без применения чертежей и рисунков. При этом чертёж – изображение объекта на плоскости, по которому можно судить о его форме, назначении и размерах. Чертёж и рисунок являются средствами выражения мысли технолога, конструктора, дизайнера и др. и представляют собой одни из важнейших проектно-конструкторских документов.

Изучение начертательной геометрии значительно развивает пространственное воображение и способствует развитию навыков правильного логического мышления. Более того, совершенствуя способность по плоскому изображению мысленно создавать представление о форме геометрического объекта, начертательная геометрия готовит будущего специалиста к успешному изучению как общепрофессиональных, так и специальных дисциплин – «Рисунок», «Проектная графика», «Проектирование в графическом дизайне», «Дизайн и рекламные технологии», «Основы теории и методологии проектирования в промышленном дизайне» и др.

Незримая работа мысли над вынашиванием дизайнерской идеи будет тем плодотворнее, чем сильнее развито пространственное воображение, и чем свободнее владеет специалист способами изображения пространственных геометрических объектов на плоскости.

Основной задачей учебного пособия «Начертательная геометрия» является изучение теоретических основ построения изображений объектов дизайна - ландшафта, интерьера, костюма, аксессуаров, промышленных изделий и др. Изображение любого объекта может быть выполнено в виде аксонометрической проекции или в перспективе. Так как современное дизайн-проектирование немыслимо без выполнения в проектной документации наглядных изображений объектов проектирования, то в соответствующих разделах пособия рассматриваются вопросы построения технических рисунков этих объектов в виде аксонометрии. Для получения изображений с большей наглядностью в пособии дана теория теней и рассмотрены способы построения собственной и падающей тени на этих изображениях.

Принято считать, что технический рисунок – наглядное изображение предмета, выполненное, как правило, в прямоугольной аксонометрии (иногда в косоугольной) с применением чертёжных инструментов и от руки для технико-технологических, производственных и рекламных целей. Для большей наглядности изображений объектов в дизайн-проектировании в настоящее время технический рисунок выполняют с дополнительными построениями собственной тени и падающей тени на опорную поверхность и рядом стоящие предметы при любом способе освещения.

Учебное пособие разработано с учётом многолетнего опыта учебной, методической и научной работы авторов в Московском государственном университете дизайна и технологии (МГУДТ). Большую помощь в разработке структуры учебного пособия и последовательности изложения разделов оказал профессор Э. Х. Фридлянд, за что авторы выражают ему огромную благодарность.

МЕТОД ПРОЕКЦИЙ

Основные понятия и определения

Методом проекций в начертательной геометрии называют способ, посредством которого получают изображения геометрических фигур. При этом начертательная геометрия рассматривает лишь их геометрические свойства.

1.1.1. Геометрические фигуры. К геометрическим фигурам, подлежащим изучению, относятся абстрактные точки, прямые и кривые линии, поверхности и геометрические тела.

Точка представляет собой абстрактное понятие, не имеющее измерений. Можно говорить только о положении точки в пространстве.

Линия (прямая или кривая) состоит из множества точек, не имеет толщины и имеет лишь одно измерение. Можно говорить о положении линии в пространстве и о ее длине.

Поверхность (плоскость, цилиндрическая и коническая поверхности, сфера и др.) представляет собой множество точек или множество линий, не имеет толщины и имеет два измерения вдоль поверхности. Можно говорить о положении поверхности в пространстве и ее размерах.

Пространственные геометрические тела могут быть ограничены точками, линиями и поверхностями.

В конечном счете каждое геометрическое тело (точнее, поверхность, ограничивающая тело) может быть представлено множеством точек.

Поэтому, прежде чем перейти к изображению пространственных тел, изучим законы изображений с помощью точки.

1.1.2. Элементы и особенности метода проекций. Процесс проецирования заключается в проведении через выбранную точку А изображаемой геометрической фигуры проецирующего луча i (прямая линия) до пересечения в точке А_N с некоторой плоскостью проекций П_N. Точка А_N является проекцией (изображением) точки А на плоскости П_N (рис. 1.1).

Таким образом, имеем четыре элемента метода проекций: пространственая точка - А; проецирующий луч - i; плоскость проекций (картинная плоскость, плоскость изображений) - П_N ; проекция точки (изображение точки) – А_N , (обозначается той же буквой, что и пространственная точка, но с индексом плоскости проекций). Операция получения проекции точки называется проецированием.

Из рис. 1.1 вытекают две особенности метода проекций.

Первая особенность заключается в том, что каждой пространственной точке А¹, А², А³, расположенной на данном проецирующем луче i, соответствует только одна точка А_N плоскости проекций П_N , т. е.

.

С другой стороны, каждой точке А_N плоскости проекций П_N соответствует бесчисленное множество точек А¹, А², А³, …, расположенных на проецирующем луче i, проходящем через данную точку А_N , т. е.

А_N→ Аⁿ i.

Эти особенности наглядны и не нуждаются в специальном доказательстве.

Из второй особенности вытекает, что одной проекции точки недостаточна для определения положения самой точки в пространстве. Можно сказать, что изображение точки на одной плоскости проекций является неполным. По одному изображению невозможно представить себе место расположения точки в пространстве.

Ниже мы познакомимся со способами получения полных изображений точки, по которым можно будет определить ее положение в пространстве.

Точки, расположенные на одном проецирующем луче, называются конкурирующими.