Глава 2. Аналитическая геометрия на плоскости

Прямая на плоскости

Уравнение первого порядка относительно двух переменных и вида (2.1.1) определяет на плоскости прямую и называется общим уравнением прямой.

(2.1.1)

Величины коэффициентов определяют положение прямой на плоскости. Так, например, если , то уравнение или определяет прямую, параллельную оси ОХ. Если , то уравнение или определяет прямую, параллельную оси OY. Если , то прямая с уравнением проходит через начало координат.

Кроме общего уравнения прямой существует еще несколько видов уравнений прямой:

(2.1.2)

- уравнение прямой с угловым коэффициентом, при этом , где - угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, - величина отрезка, отсекаемого прямой на оси OY,

(2.1.3)

- уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами и .

Условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов

, (2.1.4)

если прямые заданы уравнениями вида (2.1.2) или

, (2.1.5)

если прямые заданы общими уравнениями вида (2.1.1).

Условие перпендикулярности двух прямых выражается в виде

(2.1.6)

или (2.1.7)

Угол между прямыми , заданной уравнением , и прямой с уравнением , определяется формулой

. (2.1.8)

Рис.1. Угол между прямыми и

Для вычисления углов между прямыми, заданными уравнениями и применима также формула

. (2.1.9)

Чтобы найти точку пересечения непараллельных прямых и , нужно решить систему уравнений

. (2.1.10)

Расстояние от точки до прямой находится по формуле

. (2.1.11)

Задача 1. Дано уравнение прямой вида . Необходимо:

1) построить данную прямую,

2) проверить, принадлежат ли точки А(5,12), В(-4,6), С(4,2) прямой,

3) составить для данной прямой уравнение с угловым коэффициентом,

4) найти уравнение прямой, проходящей через точку М(3,-1), параллельно данной прямой,

5) найти уравнение прямой, проходящей через точку N(2,5), перпендикулярно данной прямой,

6) найти расстояние от точек О(0,0), К(3,4) до данной прямой,

7) найти угол между прямой и данной прямой.

.

Задача 2. Производитель велосипедов продает 200 велосипедов в неделю при цене 3500 рублей за каждый. Если цена повышается до 4200 рублей, то объем продаж снижается до 150 велосипедов. Найти соотношение между ценой и количеством продаваемых велосипедов, считая его линейным.

Задача 3. В туристическом агентстве стоимость коллективной путевки по Золотому кольцу России зависит от размера туристической группы. Если группа состоит из 20 человек, то стоимость одной путевки составляет 4500 рублей, если туристическая группа состоит из 10 человек, то стоимость путевки возрастает до 5400 рублей. Составить зависимость цены одной туристической путевки от размера туристической группы, считая ее линейной. Определить стоимость коллективной поездки туристической группы, насчитывающей 15 человек.