2015-10-22
17665
Рассмотрим n отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Обозначим 
- валовой выпуск продукции отрасли i, продукция каждой отрасли потребляется в данной отрасли и во всех других отраслях экономики (в противном случае соответствующее значение переменной равно нулю), часть продукции потребляется вне сферы материального производства и называется конечным продуктом. Обозначим 
- величина продукта, произведенного в отрасли i, потребляемого в отрасли j, 
- величина конечного продукта отрасли i. Тогда производство и потребление продукции каждой отрасли может быть записано в виде
или для всех отраслей экономики региона в виде системы уравнений
(1.5.1)
Построенная система линейных уравнений носит название системы балансовых уравнений, т.к. определяет объемы произведенной и потребляемой продукции по отраслям.
Величина 
называется коэффициентом прямых затрат и определяет долю продукции отрасли i, которая потребляется в отрасли j. Тогда 
и систему межотраслевого баланса можно представить в виде системы линейных уравнений
(1.5.2)
Обозначим матрицы
и рассмотрим матричное уравнение (1.5.3), соответствующее системе (1.5.2)
, (1.5.3)
в котором матрица (вектор) Х называется вектором валового выпуска по отраслям, матрица А называется матрицей прямых затрат или технологической матрицей, матрица (вектор) Y называется вектором конечного продукта. Матричное уравнение (1.5.3) носит название модели межотраслевого баланса Леонтьева и позволяет решать задачи трех видов:
1) по известным величинам валового выпуска продукции отраслей Х и технологической матрице А можно вычислить величину конечного продукта Y:
из модели
где Е – единичная матрица. Следовательно,
(1.5.4)
2) по заданным величинам конечного продукта Y и технологической матрице А можно определить необходимый выпуск продукции Х:
из модели
Следовательно,
(1.5.5)
3) по известным величинам валового выпуска некоторых отраслей , заданным значениям конечного продукта других отраслей и матрице прямых затрат А можно определить конечный продукт первых отраслей и валовой выпуск вторых, используя модель Леонтьева в виде системы уравнений (1.5.2).
Матрица 
называется матрицей полных затрат, так как каждый ее элемент 
- величина валового выпуска отрасли 
, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта отрасли 
.
Матрица 
называется продуктивной, то есть существует решение в модели Леонтьева, если найдется такой вектор (матрица) 
, что 
.
Критерий продуктивности. Для того, чтобы матрица прямых затрат была продуктивной необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из условий:
1) существует обратная матрица 
, все элементы которой неотрицательны,
2) матричный ряд 
сходится, причем его сумма равна ,
3) наибольшее по модулю собственное значение 
матрицы , то есть решение характеристического уравнения 
, было строго меньше единицы,
4) все главные миноры матрицы положительны.
Пример 1.5.1. Для трех отраслевой системы экономики задана матрица прямых затрат А и валовой выпуск Х:
.
Необходимо вычислить вектор конечной продукции 
.
Решение: вычислим матрицу 
Используя (1.5.4), получим
Пример 1.5.2. В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период (в условных денежных единицах):
| Отрасль производства | Потребление | Конеч-ный продукт | Вало-вой вы-пуск | ||
| Энерге-тика | Машино-строение | Нефте-химия | |||
| Энергетика | |||||
| Машинострое-ние | |||||
| Нефтехимия |
Задание:
- составить систему балансовых уравнений задачи,
- найти технологическую матрицу прямых затрат А,
- исследовать на продуктивность матрицу А и найти матрицу полных затрат В,
- определить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечный продукт в энергетике увеличится в 2 раза, в машиностроении – уменьшится на 20%, в нефтехимии – увеличится на 30%.
Решение: 1) по условию
.
По формуле 
получим систему балансовых уравнений региона
Очевидно, что суммарный конечный продукт в регионе равен 
(условных денежных единиц), а наибольший вклад в размере 72,97% от общего объема 
составляет конечный продукт машиностроительной отрасли.
2) По формуле получим
.
Таким образом, матрица прямых затрат имеет вид
.
3) Для исследования матрицы на продуктивность, воспользуемся критерием продуктивности. Среди всех указанных условий, выберем условие существования обратной матрицы . Для этого прежде всего найдем матрицу
и ее определитель
.
Так как матрица 
невырожденная, то у нее существует обратная
. Следовательно, выполнен критерий продуктивности (его первое условие), матрица продуктивна, а модель Леонтьева имеет решение.
Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы 
:
- матрица полных затрат.
4) По условию, в отчетном периоде величины конечного продукта составляли:
(условных единиц).
Если конечный продукт в энергетике увеличится в 2 раза, то его новое значение будет
у. е.
Если конечный продукт в машиностроении уменьшится на 20%, то его новое значение составит
у. е.
Аналогично,
у. е.
Тогда вектор конечного продукта будет иметь вид
,
а необходимый для этого валовой выпуск по отраслям
Следовательно, валовой выпуск энергетики должен составить 689,881, машиностроения – 680,005, нефтехимии – 520,055 условных денежных единиц.
Задача 1. Для трех отраслевой системы экономики задана матрица прямых затрат А и валовой выпуск Х. Необходимо вычислить вектор конечной продукции .
Задача 2. Технологическая матрица прямых затрат в межотраслевом балансе имеет вид:
Вычислить вектор валового выпуска Х, если необходимо получить конечный продукт в первой отрасли – 70 тысяч рублей, во второй – 230 тысяч рублей, в третьей – 160 тысяч рублей, т.е.
.
Задача 3. В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период (в условных денежных единицах):
| Отрасль производства | Потребление | Конечный продукт | Валовой выпуск | ||
| Тяжелая пром-ть | Легкая пром-ть | Пищевая пром-ть | |||
| Тяжелая пром-ть | |||||
| Легкая пром-ть | |||||
| Пищевая пром-ть |
Составить балансовые уравнения. Определить:
1) технологическую матрицу прямых затрат А,
2) матрицу полных затрат В,
3) необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечный продукт в тяжелой промышленности увеличится на 40%, в легкой промышленности – уменьшится на 30%, в пищевой промышленности – увеличится в 1,5 раза.
