Обратная матрица. Матричный метод решения систем линейных уравнений

Алгебраическим дополнением к элементу квадратной матрицы размерности называется произведение числа и определителя, полученного из определителя матрицы путем вычеркивания строки с номером и столбца с номером .

Пример 1.4.1. Найти алгебраическое дополнение матрицы

Решение: матрица А имеет размерность 4×4, ее элемент . Найдем алгебраическое дополнение по определению, умножая на число определитель, полученный из определителя матрицы А путем вычеркивания 2-ой строки и 3-его столбца, т.е.

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля.

Любая невырожденная квадратная матрица имеет обратную матрицу , которая находится по формуле

(1.4.1)

Обратная матрица обладает следующим свойством , которое служит для проверки правильности вычисления обратной матрицы (здесь Е – единичная матрица).

Пример 1.4.2. Найти обратную матрицу к матрице А и сделать проверку

Решение: найдем определитель матрицы А

Так как определитель матрицы отличен от нуля, то матрица А является невырожденной, у нее существует обратная матрица . Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы

Тогда обратная матрица согласно формуле (1.4.1) имеет вид

Обратная матрица найдена, сделаем проверку (произведение матриц описано в параграфе 1.1).

Следовательно, обратная матрица найдена верно.

Ответ: Δ

С помощью обратной матрицы возможно решение систем линейных уравнений. Рассмотрим систему n линейных уравнений c n переменными общего вида

(1.4.2)

Обозначим матрицы

Тогда систему линейных уравнений (1.4.2) можно записать в виде матричного уравнения

. (1.4.3)

Решение полученного уравнения можно найти, умножив обе части уравнения слева на

Используя свойство обратной матрицы, получим

или - решение матричного уравнения (1.4.3).

Такой метод решения систем линейных уравнений получил название матричного метода или метода матричного исчисления. Кроме уравнения (1.4.3) существуют другие матричные уравнения:

(1.4.4)

и . (1.4.5)

Для решения уравнения (1.4.4) следует умножить уравнение справа на матрицу :

решение матричного уравнения (1.4.4).

Пример 1.4.3. Решить систему линейных уравнений матричным методом

Решение: обозначим матрицы

Тогда систему линейных уравнений можно записать в виде , а ее решение по матричному методу находится в виде . Для определения обратной матрицы вычислим определитель матрицы А и алгебраические дополнения ко всем ее элементам